Theorem 0cn 5347

Description: 0 is a complex number.

Assertion

Ref	Expression
0cn	|- 0 e. CC

Proof of Theorem 0cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axi2m1 5304	. 2 |- ((i x. i) + 1) = 0
2		axicn 5289	. . . 4 |- i e. CC
3	2, 2	mulcl 5340	. . 3 |- (i x. i) e. CC
4		ax1cn 5288	. . 3 |- 1 e. CC
5	3, 4	addcl 5339	. 2 |- ((i x. i) + 1) e. CC
6	1, 5	eqeltrr 1548	1 |- 0 e. CC

Syntax hints:   e. wcel 960  (class class class)co 3970  CCcc 5251  0cc0 5253  1c1 5254  ici 5255   + caddc 5256   x. cmul 5258

This theorem is referenced by:  addid2t 5348  cnegextlem2 5365  addcant 5371  subclt 5386  negclt 5387  subaddt 5394  negidt 5398  negsubt 5401  subid1 5411  negnegt 5412  subidt 5414  subid1t 5415  neg11 5425  neg11t 5428  neg0 5434  renegcl 5435  mul01 5450  mul02 5451  1re 5454  0re 5459  mul01t 5462  mul02t 5463  mulneg1 5464  mulneg1t 5470  mul2negt 5473  negdit 5474  nncant 5488  addge0 5618  add20 5621  recextlem2 5702  mul0or 5713  mul0ort 5715  muleqaddt 5719  divmult 5726  divclt 5731  divcan1t 5739  divcan2tOLD 5741  divne0bt 5742  recne0t 5746  recidt 5749  divrect 5753  divdirt 5764  divdirtOLD 5765  divcan3t 5770  div0t 5775  diveq0t 5776  eqneg 5813  eqnegt 5814  2timest 6013  elnn0 6110  nn0addclt 6129  elznn0 6158  nn0subt 6170  zltp1let 6190  shftval3t 6356  shftidt 6363  seq1seqz 6549  seq0seqz 6550  seq00 6558  0expt 6598  exple1t 6615  sumsqne0 6642  sq0 6643  sqeqort 6657  binom2t 6658  discrlem3 6666  sqr0 6680  sqrlem6 6686  sqrth 6707  crne0 6747  rimul 6752  cjrebt 6807  cjmulrclt 6808  cjmulge0t 6810  renegt 6811  readdt 6812  imnegt 6814  imaddt 6815  cjcjt 6818  cjaddt 6819  cjmult 6820  cjnegt 6821  addcjt 6822  re0 6827  im0 6828  cj0 6833  cjne0t 6838  abs00 6849  absval2t 6859  abs00t 6860  absge0t 6861  absmult 6865  absdivt 6867  abs0 6884  cjdivt 6896  absgt0t 6900  abssubt 6901  abstrit 6905  abs2dift 6909  abs1m 6911  abs3lemt 6914  faclbnd 6952  faclbnd3 6954  faclbnd4lem3 6957  bcpasc 6976  fsum0 7046  serz0 7060  binomlem1 7073  binomlem4 7076  binom 7079  clm0 7090  clm0nns 7092  clm0i 7096  clim0 7104  climuni 7106  iserzshft2 7114  climuz0 7115  serzclim0 7116  caucvg3t 7175  serzf0 7176  ser1f0 7177  ser10 7179  ser1clim0 7180  cvgcmp3cetlem1 7195  infcvglem2 7229  fnsmnt 7233  geolim 7244  geolim1 7246  fsum0diag 7265  mulc1cncf 7286  efseq1ex 7313  ef0lem 7317  ef0 7342  efcjt 7344  efaddt 7374  ef4p 7406  ef4pt 7407  efcnlem4 7429  sin0ALT 7452  sinaddt 7460  cosaddt 7461  bcth 8036  cnaddabl 8129  cnid 8130  addinv 8131  vc0 8191  vcz 8192  vcoprne 8201  ip0r 8373  ipasslem8 8500  pythi 8513  siilem2 8515  minveclem30 8577  pilog 8770  avril1 8786  hvmul0t 8895  hi01t 8964  norm-iiit 9009  normpyth 9011  ocsh 9158  pjthlem8 9228  pjthlem9 9229  h1de2ctlem 9480  pjmult 9636  pjnel 9670  eigret 9763  eigortht 9766  0cnfn 9906  0lnfn 9911  lnopeq0 9934  lnopunilem2 9938  lnfncon 9992  nlelsh 9995  unierr 10039  abs2sqlet 10377  abs2sqltt 10378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265

Copyright terms: Public domain