Theorem 0cnfn 9928

Description: The identically zero function is a continuous Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
0cnfn	|- (H~ X. {0}) e. ConFn

Proof of Theorem 0cnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnfn 9833	. 2 |- ((H~ X. {0}) e. ConFn <-> ((H~ X. {0}):H~-->CC /\ A.x e. H~ A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))))
2		0cn 5348	. . . . 5 |- 0 e. CC
3	2	elisseti 1825	. . . 4 |- 0 e. V
4	3	fconst 3674	. . 3 |- (H~ X. {0}):H~-->{0}
5		snssi 2480	. . . 4 |- (0 e. CC -> {0} (_ CC)
6	2, 5	ax-mp 7	. . 3 |- {0} (_ CC
7		fss 3651	. . 3 |- (((H~ X. {0}):H~-->{0} /\ {0} (_ CC) -> (H~ X. {0}):H~-->CC)
8	4, 6, 7	mp2an 701	. 2 |- (H~ X. {0}):H~-->CC
9		1re 5455	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
10	9	a1i 8	. . . . . 6 |- (0 < y -> 1 e. RR)
11	10	a1i 8	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> (0 < y -> 1 e. RR))
12		lt01 5700	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
13	12	a1i 8	. . . . . . . 8 |- (0 < y -> 0 < 1)
14	13	a1i 8	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (0 < y -> 0 < 1))
15	3	fvconst2 3862	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. H~ -> ((H~ X. {0})` w) = 0)
16	3	fvconst2 3862	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. H~ -> ((H~ X. {0})` x) = 0)
17	15, 16	opreqan12rd 3996	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x)) = (0 - 0))
18	2	subidi 5411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (0 - 0) = 0
19	17, 18	syl6eq 1530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x)) = 0)
20	19	fveq2d 3744	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) = (abs` 0))
21		abs0 6909	. . . . . . . . . . . 12 |- (abs` 0) = 0
22	20, 21	syl6eq 1530	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) = 0)
23	22	breq1d 2644	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> ((abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y <-> 0 < y))
24	23	biimprd 154	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (0 < y -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))
25	24	a1dd 42	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ w e. H~) -> (0 < y -> ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
26	25	r19.21adva 1726	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (0 < y -> A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
27	14, 26	jcad 603	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (0 < y -> (0 < 1 /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))))
28	27	adantr 391	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> (0 < y -> (0 < 1 /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))))
29	11, 28	jcad 603	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> (0 < y -> (1 e. RR /\ (0 < 1 /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))))
30		breq2 2638	. . . . . 6 |- (z = 1 -> (0 < z <-> 0 < 1))
31		breq2 2638	. . . . . . . 8 |- (z = 1 -> ((normh` (w -h x)) < z <-> (normh` (w -h x)) < 1))
32	31	imbi1d 616	. . . . . . 7 |- (z = 1 -> (((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y) <-> ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
33	32	ralbidv 1670	. . . . . 6 |- (z = 1 -> (A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y) <-> A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
34	30, 33	anbi12d 631	. . . . 5 |- (z = 1 -> ((0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)) <-> (0 < 1 /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))))
35	34	rcla4ev 1884	. . . 4 |- ((1 e. RR /\ (0 < 1 /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < 1 -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))) -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
36	29, 35	syl6 22	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. RR) -> (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y))))
37	36	rgen2 1730	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. H~ ((normh` (w -h x)) < z -> (abs` (((H~ X. {0})` w) - ((H~ X. {0})` x))) < y)))
38	1, 8, 37	mpbir2an 734	1 |- (H~ X. {0}) e. ConFn

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 960   e. wcel 962  A.wral 1652  E.wrex 1653   (_ wss 2058  {csn 2421   class class class wbr 2634   X. cxp 3184  -->wf 3194  ` cfv 3198  (class class class)co 3979  CCcc 5252  RRcr 5253  0cc0 5254  1c1 5255   - cmin 5312   < clt 5506  abscabs 6782  H~chil 8812   -h cmv 8816  normhcno 8818  ConFnccnf 8846

This theorem is referenced by:  nmcfnex 10012  nmcfnlb 10013  lnfnconi 10014  riesz4 10021  riesz1 10022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882  ax-inf2 4642  ax-hilex 8893

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-pss 2066  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-f1 3211  df-fo 3212  df-f1o 3213  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-er 4277  df-ec 4279  df-qs 4282  df-en 4386  df-dom 4387  df-sdom 4388  df-sup 4589  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022  df-lti 5023  df-plpq 5055  df-mpq 5056  df-enq 5057  df-nq 5058  df-plq 5059  df-mq 5060  df-rq 5061  df-ltq 5062  df-1q 5063  df-np 5106  df-1p 5107  df-plp 5108  df-mp 5109  df-ltp 5110  df-plpr 5184  df-mpr 5185  df-enr 5186  df-nr 5187  df-plr 5188  df-mr 5189  df-ltr 5190  df-0r 5191  df-1r 5192  df-m1r 5193  df-c 5260  df-0 5261  df-1 5262  df-i 5263  df-r 5264  df-plus 5265  df-mul 5266  df-lt 5267  df-sub 5376  df-neg 5378  df-pnf 5507  df-mnf 5508  df-xr 5509  df-ltxr 5510  df-le 5511  df-div 5723  df-n 5939  df-2 5984  df-n0 6132  df-z 6168  df-seq1 6509  df-exp 6600  df-sqr 6702  df-re 6783  df-im 6784  df-cj 6785  df-abs 6786  df-cnfn 9797

Copyright terms: Public domain