Theorem 2nd2val 4103

Description: Value of an alternate definition of the 2nd function.

Assertion

Ref	Expression
2nd2val	|- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A)

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem 2nd2val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1816	. . . . . 6 |- w e. V
2		visset 1816	. . . . . 6 |- v e. V
3	1, 2	op2nd 4093	. . . . 5 |- (2nd` <.w, v>.) = v
4		eqidd 1479	. . . . . . 7 |- (x = w -> y = y)
5		id 59	. . . . . . 7 |- (y = v -> y = v)
6		eqid 1478	. . . . . . 7 |- {<.<.x, y>., z>. | z = y} = {<.<.x, y>., z>. | z = y}
7	2, 4, 5, 6	oprabval5 4036	. . . . . 6 |- ((w e. V /\ v e. V) -> (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = v)
8	1, 2, 7	mp2an 699	. . . . 5 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = v
9		df-opr 3972	. . . . 5 |- (w{<.<.x, y>., z>. | z = y}v) = ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.)
10	3, 8, 9	3eqtr2r 1505	. . . 4 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.) = (2nd` <.w, v>.)
11		fveq2 3731	. . . . 5 |- (<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.) = ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A))
12		fveq2 3731	. . . . 5 |- (<.w, v>. = A -> (2nd` <.w, v>.) = (2nd` A))
13	11, 12	eqeq12d 1492	. . . 4 |- (<.w, v>. = A -> (({<.<.x, y>., z>. | z = y}` <.w, v>.) = (2nd` <.w, v>.) <-> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A)))
14	10, 13	mpbii 193	. . 3 |- (<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
15	14	19.23aivv 1298	. 2 |- (E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
16		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
17		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
18	16, 17	pm3.2i 285	. . . . . . . . . 10 |- (x e. V /\ y e. V)
19		a9e 1127	. . . . . . . . . 10 |- E.z z = y
20	18, 19	2th 720	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ y e. V) <-> E.z z = y)
21	20	opabbii 2677	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)} = {<.x, y>. | E.z z = y}
22		df-xp 3191	. . . . . . . 8 |- (V X. V) = {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)}
23		dmoprab 4009	. . . . . . . 8 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} = {<.x, y>. | E.z z = y}
24	21, 22, 23	3eqtr4r 1509	. . . . . . 7 |- dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} = (V X. V)
25	24	eleq2i 1541	. . . . . 6 |- (A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} <-> A e. (V X. V))
26		elvv 3235	. . . . . 6 |- (A e. (V X. V) <-> E.wE.v A = <.w, v>.)
27		eqcom 1480	. . . . . . 7 |- (A = <.w, v>. <-> <.w, v>. = A)
28	27	2exbii 1054	. . . . . 6 |- (E.wE.v A = <.w, v>. <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
29	25, 26, 28	3bitr 177	. . . . 5 |- (A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
30	29	negbii 187	. . . 4 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} <-> -. E.wE.v<.w, v>. = A)
31		ndmfv 3752	. . . 4 |- (-. A e. dom {<.<.x, y>., z>. | z = y} -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (/))
32	30, 31	sylbir 201	. . 3 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (/))
33		n0 2294	. . . . . . . . 9 |- (-. ran { A} = (/) <-> E.v v e. ran { A})
34	2	elrn2 3356	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. ran { A} <-> E.w<.w, v>. e. {A})
35		opex 2789	. . . . . . . . . . . . 13 |- <.w, v>. e. V
36	35	elsnc 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, v>. e. {A} <-> <.w, v>. = A)
37	36	exbii 1053	. . . . . . . . . . 11 |- (E.w<.w, v>. e. {A} <-> E.w<.w, v>. = A)
38	34, 37	bitr 173	. . . . . . . . . 10 |- (v e. ran { A} <-> E.w<.w, v>. = A)
39	38	exbii 1053	. . . . . . . . 9 |- (E.v v e. ran { A} <-> E.vE.w<.w, v>. = A)
40		excom 1048	. . . . . . . . 9 |- (E.vE.w<.w, v>. = A <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
41	33, 39, 40	3bitr 177	. . . . . . . 8 |- (-. ran { A} = (/) <-> E.wE.v<.w, v>. = A)
42	41	biimp 151	. . . . . . 7 |- (-. ran { A} = (/) -> E.wE.v<.w, v>. = A)
43	42	con1i 96	. . . . . 6 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ran { A} = (/))
44	43	unieqd 2517	. . . . 5 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> U.ran { A} = U.(/))
45		uni0 2530	. . . . 5 |- U.(/) = (/)
46	44, 45	syl6eq 1526	. . . 4 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> U.ran { A} = (/))
47		2ndval 4089	. . . 4 |- (2nd` A) = U.ran { A}
48	46, 47	syl5eq 1522	. . 3 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> (2nd` A) = (/))
49	32, 48	eqtr4d 1513	. 2 |- (-. E.wE.v<.w, v>. = A -> ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A))
50	15, 49	pm2.61i 126	1 |- ({<.<.x, y>., z>. | z = y}` A) = (2nd` A)

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  Vcvv 1814  (/)c0 2284  {csn 2414  <.cop 2416  U.cuni 2508  {copab 2672   X. cxp 3175  dom cdm 3177  ran crn 3178  ` cfv 3189  (class class class)co 3970  {copab2 3971  2ndc2nd 4085

This theorem is referenced by:  df2nd2 4134

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-uni 2509  df-br 2626  df-opab 2673  df-id 2842  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fv 3205  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-2nd 4087

Copyright terms: Public domain