Theorem abstri 6891

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
releabs.1	|- A e. CC
abstri.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
abstri	|- (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		releabs.1	. . . . . . . 8 |- A e. CC
2		abstri.2	. . . . . . . . 9 |- B e. CC
3	2	cjcl 6767	. . . . . . . 8 |- (*` B) e. CC
4	1, 3	mulcl 5321	. . . . . . 7 |- (A x. (*` B)) e. CC
5	4	releabs 6890	. . . . . 6 |- (Re` (A x. (*` B))) <_ (abs` (A x. (*` B)))
6	1, 3	absmul 6847	. . . . . . 7 |- (abs` (A x. (*` B))) = ((abs` A) x. (abs` (*` B)))
7	2	abscj 6845	. . . . . . . 8 |- (abs` (*` B)) = (abs` B)
8	7	opreq2i 3972	. . . . . . 7 |- ((abs` A) x. (abs` (*` B))) = ((abs` A) x. (abs` B))
9	6, 8	eqtr 1495	. . . . . 6 |- (abs` (A x. (*` B))) = ((abs` A) x. (abs` B))
10	5, 9	breqtr 2638	. . . . 5 |- (Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B))
11		2pos 5989	. . . . . 6 |- 0 < 2
12	4	recl 6765	. . . . . . 7 |- (Re` (A x. (*` B))) e. RR
13	1	abscl 6839	. . . . . . . 8 |- (abs` A) e. RR
14	2	abscl 6839	. . . . . . . 8 |- (abs` B) e. RR
15	13, 14	remulcl 5335	. . . . . . 7 |- ((abs` A) x. (abs` B)) e. RR
16		2re 5979	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
17	12, 15, 16	lemul2 5836	. . . . . 6 |- (0 < 2 -> ((Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B)) <-> (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))))
18	11, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((Re` (A x. (*` B))) <_ ((abs` A) x. (abs` B)) <-> (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
19	10, 18	mpbi 189	. . . 4 |- (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))
20	16, 12	remulcl 5335	. . . . 5 |- (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) e. RR
21	16, 15	remulcl 5335	. . . . 5 |- (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) e. RR
22	13	resqcl 6623	. . . . . 6 |- ((abs` A)^2) e. RR
23	14	resqcl 6623	. . . . . 6 |- ((abs` B)^2) e. RR
24	22, 23	readdcl 5334	. . . . 5 |- (((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) e. RR
25	20, 21, 24	leadd2 5593	. . . 4 |- ((2 x. (Re` (A x. (*` B)))) <_ (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) <-> ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))) <_ ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))))
26	19, 25	mpbi 189	. . 3 |- ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))) <_ ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
27	1, 2	sqabsadd 6850	. . 3 |- ((abs` (A + B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B)))))
28	13	recn 5314	. . . . 5 |- (abs` A) e. CC
29	14	recn 5314	. . . . 5 |- (abs` B) e. CC
30	28, 29	binom2 6644	. . . 4 |- (((abs` A) + (abs` B))^2) = ((((abs` A)^2) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))) + ((abs` B)^2))
31	28	sqcl 6615	. . . . 5 |- ((abs` A)^2) e. CC
32	21	recn 5314	. . . . 5 |- (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))) e. CC
33	29	sqcl 6615	. . . . 5 |- ((abs` B)^2) e. CC
34	31, 32, 33	add23 5341	. . . 4 |- ((((abs` A)^2) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B)))) + ((abs` B)^2)) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
35	30, 34	eqtr 1495	. . 3 |- (((abs` A) + (abs` B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. ((abs` A) x. (abs` B))))
36	26, 27, 35	3brtr4 2643	. 2 |- ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2)
37	1, 2	addcl 5320	. . . 4 |- (A + B) e. CC
38	37	absge0 6840	. . 3 |- 0 <_ (abs` (A + B))
39	1	absge0 6840	. . . 4 |- 0 <_ (abs` A)
40	2	absge0 6840	. . . 4 |- 0 <_ (abs` B)
41	13, 14	addge0 5599	. . . 4 |- ((0 <_ (abs` A) /\ 0 <_ (abs` B)) -> 0 <_ ((abs` A) + (abs` B)))
42	39, 40, 41	mp2an 697	. . 3 |- 0 <_ ((abs` A) + (abs` B))
43	37	abscl 6839	. . . 4 |- (abs` (A + B)) e. RR
44	13, 14	readdcl 5334	. . . 4 |- ((abs` A) + (abs` B)) e. RR
45	43, 44	le2sq 6625	. . 3 |- ((0 <_ (abs` (A + B)) /\ 0 <_ ((abs` A) + (abs` B))) -> ((abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)) <-> ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2)))
46	38, 42, 45	mp2an 697	. 2 |- ((abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B)) <-> ((abs` (A + B))^2) <_ (((abs` A) + (abs` B))^2))
47	36, 46	mpbir 190	1 |- (abs` (A + B)) <_ ((abs` A) + (abs` B))

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   + caddc 5237   x. cmul 5239   <_ cle 5295   < clt 5486  2c2 5961  ^cexp 6568  Recre 6747  *ccj 6749  abscabs 6750

This theorem is referenced by:  abstrit 6898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754

Copyright terms: Public domain