Theorem ac6s 4902

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 4870, we derive this strong version of ac6 4901 that doesn't require B to be a set.

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	|- A e. V
ac6s.2	|- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
ac6s	|- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))

Distinct variable groups:   x,y,f,A   x,B,y,f   ph,f   ps,y

Proof of Theorem ac6s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . 3 |- A e. V
2	1	bnd2 4870	. 2 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph))
3		visset 1859	. . . . . 6 |- z e. V
4		ac6s.2	. . . . . 6 |- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))
5	1, 3, 4	ac6 4901	. . . . 5 |- (A.x e. A E.y e. z ph -> E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps))
6	5	anim2i 333	. . . 4 |- ((z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph) -> (z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)))
7	6	19.22i 1076	. . 3 |- (E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph) -> E.z(z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)))
8		fss 3742	. . . . . . . 8 |- ((f:A-->z /\ z (_ B) -> f:A-->B)
9	8	expcom 372	. . . . . . 7 |- (z (_ B -> (f:A-->z -> f:A-->B))
10	9	anim1d 563	. . . . . 6 |- (z (_ B -> ((f:A-->z /\ A.x e. A ps) -> (f:A-->B /\ A.x e. A ps)))
11	10	19.22dv 1328	. . . . 5 |- (z (_ B -> (E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps)))
12	11	imp 348	. . . 4 |- ((z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))
13	12	19.23aiv 1333	. . 3 |- (E.z(z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))
14	7, 13	syl 10	. 2 |- (E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))
15	2, 14	syl 10	1 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  A.wral 1691  E.wrex 1692  Vcvv 1857   (_ wss 2099  -->wf 3259  ` cfv 3263

This theorem is referenced by:  ac6n 4903  ac6s2 4904  ac6sf 4906  infcvglem1 7425  metelcls 8176  nmounbseqi 8694  ac6sg 10803  2ndcctbss 11539  rrncms 12075

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-reg 4736  ax-inf2 4770  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-iin 2636  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-rdg 4233  df-r1 4789  df-rank 4790

Copyright terms: Public domain