Theorem alephadd 7591

Description: The sum of two alephs is their maximum. Equation 6.1 of [Jech] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
alephadd	|- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))

Proof of Theorem alephadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2717	. . . . . . . 8 |- (/) e. V
2	1, 1	cdaval 4939	. . . . . . 7 |- ((/) +c (/)) = (((/) X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
3		xpundi 3232	. . . . . . 7 |- ((/) X. ({(/)} u. {1o})) = (((/) X. {(/)}) u. ((/) X. {1o}))
4		xp0r 3246	. . . . . . 7 |- ((/) X. ({(/)} u. {1o})) = (/)
5	2, 3, 4	3eqtr2 1504	. . . . . 6 |- ((/) +c (/)) = (/)
6		ndmfv 3752	. . . . . . 7 |- (-. A e. dom aleph -> (aleph` A) = (/))
7		ndmfv 3752	. . . . . . 7 |- (-. B e. dom aleph -> (aleph` B) = (/))
8	6, 7	opreqan12d 3986	. . . . . 6 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((/) +c (/)))
9	6	adantr 391	. . . . . . . 8 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> (aleph` A) = (/))
10	7	adantl 390	. . . . . . . 8 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> (aleph` B) = (/))
11	9, 10	uneq12d 2189	. . . . . . 7 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) u. (aleph` B)) = ((/) u. (/)))
12		un0 2302	. . . . . . 7 |- ((/) u. (/)) = (/)
13	11, 12	syl6eq 1526	. . . . . 6 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) u. (aleph` B)) = (/))
14	5, 8, 13	3eqtr4a 1535	. . . . 5 |- ((-. A e. dom aleph /\ -. B e. dom aleph) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)))
15		alephfnon 4880	. . . . . . . 8 |- aleph Fn On
16		fndm 3594	. . . . . . . 8 |- (aleph Fn On -> dom aleph = On)
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- dom aleph = On
18	17	eleq2i 1541	. . . . . 6 |- (A e. dom aleph <-> A e. On)
19	18	negbii 187	. . . . 5 |- (-. A e. dom aleph <-> -. A e. On)
20	17	eleq2i 1541	. . . . . 6 |- (B e. dom aleph <-> B e. On)
21	20	negbii 187	. . . . 5 |- (-. B e. dom aleph <-> -. B e. On)
22	14, 19, 21	syl2anbr 458	. . . 4 |- ((-. A e. On /\ -. B e. On) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)))
23		oprex 3990	. . . . 5 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) e. V
24		eqeng 4399	. . . . 5 |- (((aleph` A) +c (aleph` B)) e. V -> (((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))))
25	23, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- (((aleph` A) +c (aleph` B)) = ((aleph` A) u. (aleph` B)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
26	22, 25	syl 10	. . 3 |- ((-. A e. On /\ -. B e. On) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
27	26	ex 373	. 2 |- (-. A e. On -> (-. B e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))))
28		alephgeom 4900	. . 3 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))
29		fvex 3739	. . . . 5 |- (aleph` A) e. V
30		ssdom2g 4416	. . . . 5 |- ((aleph` A) e. V -> (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A)))
31	29, 30	ax-mp 7	. . . 4 |- (om (_ (aleph` A) -> om ~<_ (aleph` A))
32		fvex 3739	. . . . 5 |- (aleph` B) e. V
33	29, 32	infcda 7575	. . . 4 |- (om ~<_ (aleph` A) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
34	31, 33	syl 10	. . 3 |- (om (_ (aleph` A) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
35	28, 34	sylbi 199	. 2 |- (A e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
36		alephgeom 4900	. . 3 |- (B e. On <-> om (_ (aleph` B))
37		ssdom2g 4416	. . . . 5 |- ((aleph` B) e. V -> (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B)))
38	32, 37	ax-mp 7	. . . 4 |- (om (_ (aleph` B) -> om ~<_ (aleph` B))
39	32, 29	infcda 7575	. . . . . 6 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
40	29, 32	cdacomen 4948	. . . . . . 7 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) +c (aleph` A))
41		entrt 4421	. . . . . . 7 |- ((((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) +c (aleph` A)) /\ ((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A))) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
42	40, 41	mpan 697	. . . . . 6 |- (((aleph` B) +c (aleph` A)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
43	39, 42	syl 10	. . . . 5 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` B) u. (aleph` A)))
44		uncom 2180	. . . . 5 |- ((aleph` B) u. (aleph` A)) = ((aleph` A) u. (aleph` B))
45	43, 44	syl6breq 2660	. . . 4 |- (om ~<_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
46	38, 45	syl 10	. . 3 |- (om (_ (aleph` B) -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
47	36, 46	sylbi 199	. 2 |- (B e. On -> ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B)))
48	27, 35, 47	pm2.61ii 130	1 |- ((aleph` A) +c (aleph` B)) ~~ ((aleph` A) u. (aleph` B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814   u. cun 2049   (_ wss 2051  (/)c0 2284  {csn 2414   class class class wbr 2625  Oncon0 2955  omcom 3138   X. cxp 3175  dom cdm 3177   Fn wfn 3184  ` cfv 3189  (class class class)co 3970  1oc1o 4135   ~~ cen 4371   ~<_ cdom 4372  alephcale 4831   +c ccda 4936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-reg 4609  ax-inf2 4641  ax-ac 4761

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-f1 3202  df-fo 3203  df-f1o 3204  df-fv 3205  df-iso 3206  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-2o 4141  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-en 4375  df-dom 4376  df-sdom 4377  df-fin 4378  df-card 4833  df-aleph 4834  df-cda 4937  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-ltr 5189  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-lt 5266  df-sub 5375  df-neg 5377  df-pnf 5506  df-mnf 5507  df-xr 5508  df-ltxr 5509  df-le 5510  df-n 5934  df-2 5979  df-n0 6109  df-z 6145  df-seq1 6316  df-exp 6577

Copyright terms: Public domain