Theorem arch 6039

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26.

Assertion

Ref	Expression
arch	|- (A e. RR -> E.n e. NN A < n)

Distinct variable group:   A,n

Proof of Theorem arch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2620	. . 3 |- (y = A -> (y < n <-> A < n))
2	1	rexbidv 1663	. 2 |- (y = A -> (E.n e. NN y < n <-> E.n e. NN A < n))
3		nnunb 6038	. . . 4 |- -. E.y e. RR A.n e. NN (n < y \/ n = y)
4		ralnex 1652	. . . 4 |- (A.y e. RR -. A.n e. NN (n < y \/ n = y) <-> -. E.y e. RR A.n e. NN (n < y \/ n = y))
5	3, 4	mpbir 190	. . 3 |- A.y e. RR -. A.n e. NN (n < y \/ n = y)
6		axlttri 5491	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ n e. RR) -> (y < n <-> -. (y = n \/ n < y)))
7		nnret 5897	. . . . . . . . 9 |- (n e. NN -> n e. RR)
8	6, 7	sylan2 451	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ n e. NN) -> (y < n <-> -. (y = n \/ n < y)))
9		eqcom 1476	. . . . . . . . . . 11 |- (y = n <-> n = y)
10	9	orbi1i 256	. . . . . . . . . 10 |- ((y = n \/ n < y) <-> (n = y \/ n < y))
11		orcom 246	. . . . . . . . . 10 |- ((n = y \/ n < y) <-> (n < y \/ n = y))
12	10, 11	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- ((y = n \/ n < y) <-> (n < y \/ n = y))
13	12	negbii 187	. . . . . . . 8 |- (-. (y = n \/ n < y) <-> -. (n < y \/ n = y))
14	8, 13	syl6bb 536	. . . . . . 7 |- ((y e. RR /\ n e. NN) -> (y < n <-> -. (n < y \/ n = y)))
15	14	biimprd 154	. . . . . 6 |- ((y e. RR /\ n e. NN) -> (-. (n < y \/ n = y) -> y < n))
16	15	r19.22dva 1738	. . . . 5 |- (y e. RR -> (E.n e. NN -. (n < y \/ n = y) -> E.n e. NN y < n))
17		rexnal 1653	. . . . 5 |- (E.n e. NN -. (n < y \/ n = y) <-> -. A.n e. NN (n < y \/ n = y))
18	16, 17	syl5ibr 207	. . . 4 |- (y e. RR -> (-. A.n e. NN (n < y \/ n = y) -> E.n e. NN y < n))
19	18	r19.20i 1703	. . 3 |- (A.y e. RR -. A.n e. NN (n < y \/ n = y) -> A.y e. RR E.n e. NN y < n)
20	5, 19	ax-mp 7	. 2 |- A.y e. RR E.n e. NN y < n
21	2, 20	vtoclri 1857	1 |- (A e. RR -> E.n e. NN A < n)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1644  E.wrex 1645   class class class wbr 2617  RRcr 5221  NNcn 5284   < clt 5474

This theorem is referenced by:  nnreclt 6040  bndndx 6041  btwnz 6183  ubthlem5 8490  projlem1 9141  projlem26 9166

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2691  ax-sep 2701  ax-nul 2708  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-un 2864  ax-inf2 4613

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2502  df-int 2532  df-iun 2566  df-br 2618  df-opab 2665  df-tr 2679  df-eprel 2830  df-id 2833  df-po 2838  df-so 2848  df-fr 2915  df-we 2932  df-ord 2949  df-on 2950  df-lim 2951  df-suc 2952  df-om 3130  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fn 3191  df-f 3192  df-f1 3193  df-fo 3194  df-f1o 3195  df-fv 3196  df-rdg 3930  df-opr 3963  df-oprab 3964  df-1st 4077  df-2nd 4078  df-1o 4131  df-oadd 4133  df-omul 4134  df-er 4259  df-ec 4261  df-qs 4264  df-en 4365  df-dom 4366  df-sdom 4367  df-ni 4988  df-pli 4989  df-mi 4990  df-lti 4991  df-plpq 5023  df-mpq 5024  df-enq 5025  df-nq 5026  df-plq 5027  df-mq 5028  df-rq 5029  df-ltq 5030  df-1q 5031  df-np 5074  df-1p 5075  df-plp 5076  df-mp 5077  df-ltp 5078  df-plpr 5152  df-mpr 5153  df-enr 5154  df-nr 5155  df-plr 5156  df-mr 5157  df-ltr 5158  df-0r 5159  df-1r 5160  df-m1r 5161  df-c 5228  df-0 5229  df-1 5230  df-i 5231  df-r 5232  df-plus 5233  df-mul 5234  df-lt 5235  df-sub 5344  df-neg 5346  df-pnf 5475  df-mnf 5476  df-xr 5477  df-ltxr 5478  df-le 5479  df-n 5893

Copyright terms: Public domain