Theorem asymref 3439

Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric and reflexive. U.U.R is the field of a relation by relfld 3515.

Assertion

Ref	Expression
asymref	|- ((R i^i `'R) = (I |` U.U.R) <-> A.x e. U.U.RA.y((xRy /\ yRx) <-> x = y))

Distinct variable group:   x,y,R

Proof of Theorem asymref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 2231	. . . 4 |- (R i^i `'R) (_ `'R
2		relcnv 3435	. . . 4 |- Rel `'R
3		relss 3246	. . . 4 |- ((R i^i `'R) (_ `'R -> (Rel `'R -> Rel (R i^i `'R)))
4	1, 2, 3	mp2 43	. . 3 |- Rel (R i^i `'R)
5		relres 3387	. . 3 |- Rel (I |` U.U.R)
6		eqrel 3250	. . 3 |- ((Rel (R i^i `'R) /\ Rel (I |` U.U.R)) -> ((R i^i `'R) = (I |` U.U.R) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. (I |` U.U.R))))
7	4, 5, 6	mp2an 697	. 2 |- ((R i^i `'R) = (I |` U.U.R) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. (I |` U.U.R)))
8		visset 1813	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
9	8	breldm 3315	. . . . . . . . 9 |- (xRy -> x e. dom R)
10		ssun1 2193	. . . . . . . . . . 11 |- dom R (_ (dom R u. ran R)
11		dmrnssfld 3357	. . . . . . . . . . 11 |- (dom R u. ran R) (_ U.U.R
12	10, 11	sstri 2073	. . . . . . . . . 10 |- dom R (_ U.U.R
13	12	sseli 2065	. . . . . . . . 9 |- (x e. dom R -> x e. U.U.R)
14	9, 13	syl 10	. . . . . . . 8 |- (xRy -> x e. U.U.R)
15	14	pm4.71ri 638	. . . . . . 7 |- (xRy <-> (x e. U.U.R /\ xRy))
16	15	anbi1i 481	. . . . . 6 |- ((xRy /\ yRx) <-> ((x e. U.U.R /\ xRy) /\ yRx))
17		anass 439	. . . . . 6 |- (((x e. U.U.R /\ xRy) /\ yRx) <-> (x e. U.U.R /\ (xRy /\ yRx)))
18	16, 17	bitr 173	. . . . 5 |- ((xRy /\ yRx) <-> (x e. U.U.R /\ (xRy /\ yRx)))
19		ancom 435	. . . . 5 |- ((x = y /\ x e. U.U.R) <-> (x e. U.U.R /\ x = y))
20	18, 19	bibi12i 610	. . . 4 |- (((xRy /\ yRx) <-> (x = y /\ x e. U.U.R)) <-> ((x e. U.U.R /\ (xRy /\ yRx)) <-> (x e. U.U.R /\ x = y)))
21		elin 2207	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
22		df-br 2620	. . . . . . 7 |- (xRy <-> <.x, y>. e. R)
23		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- y e. V
24	8, 23	brcnv 3299	. . . . . . . 8 |- (x`'Ry <-> yRx)
25		df-br 2620	. . . . . . . 8 |- (x`'Ry <-> <.x, y>. e. `'R)
26	24, 25	bitr3 175	. . . . . . 7 |- (yRx <-> <.x, y>. e. `'R)
27	22, 26	anbi12i 482	. . . . . 6 |- ((xRy /\ yRx) <-> (<.x, y>. e. R /\ <.x, y>. e. `'R))
28	21, 27	bitr4 176	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> (xRy /\ yRx))
29	23	opelres 3372	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (I |` U.U.R) <-> (<.x, y>. e. I /\ x e. U.U.R))
30	23	ideq 3277	. . . . . . . 8 |- (xIy <-> x = y)
31		df-br 2620	. . . . . . . 8 |- (xIy <-> <.x, y>. e. I)
32	30, 31	bitr3 175	. . . . . . 7 |- (x = y <-> <.x, y>. e. I)
33	32	anbi1i 481	. . . . . 6 |- ((x = y /\ x e. U.U.R) <-> (<.x, y>. e. I /\ x e. U.U.R))
34	29, 33	bitr4 176	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (I |` U.U.R) <-> (x = y /\ x e. U.U.R))
35	28, 34	bibi12i 610	. . . 4 |- ((<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. (I |` U.U.R)) <-> ((xRy /\ yRx) <-> (x = y /\ x e. U.U.R)))
36		pm5.32 644	. . . 4 |- ((x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)) <-> ((x e. U.U.R /\ (xRy /\ yRx)) <-> (x e. U.U.R /\ x = y)))
37	20, 35, 36	3bitr4 183	. . 3 |- ((<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. (I |` U.U.R)) <-> (x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
38	37	2albii 1000	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. (R i^i `'R) <-> <.x, y>. e. (I |` U.U.R)) <-> A.xA.y(x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
39		19.21v 1285	. . . 4 |- (A.y(x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)) <-> (x e. U.U.R -> A.y((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
40	39	albii 999	. . 3 |- (A.xA.y(x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)) <-> A.x(x e. U.U.R -> A.y((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
41		df-ral 1649	. . 3 |- (A.x e. U.U.RA.y((xRy /\ yRx) <-> x = y) <-> A.x(x e. U.U.R -> A.y((xRy /\ yRx) <-> x = y)))
42	40, 41	bitr4 176	. 2 |- (A.xA.y(x e. U.U.R -> ((xRy /\ yRx) <-> x = y)) <-> A.x e. U.U.RA.y((xRy /\ yRx) <-> x = y))
43	7, 38, 42	3bitr 177	1 |- ((R i^i `'R) = (I |` U.U.R) <-> A.x e. U.U.RA.y((xRy /\ yRx) <-> x = y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   u. cun 2045   i^i cin 2046   (_ wss 2047  <.cop 2411  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  Icid 2831  `'ccnv 3169  dom cdm 3170  ran crn 3171   |` cres 3172  Rel wrel 3175

This theorem is referenced by:  asymref2 3440

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190

Copyright terms: Public domain