Theorem ax0id 5281

Description: 0 is an identity element for addition. Axiom 15 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax0id	|- (A e. CC -> (A + 0) = A)

Proof of Theorem ax0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5240	. 2 |- CC = (R. X. R.)
2		opreq1 3968	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. + 0) = (A + 0))
3		id 59	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> <.x, y>. = A)
4	2, 3	eqeq12d 1489	. 2 |- (<.x, y>. = A -> ((<.x, y>. + 0) = <.x, y>. <-> (A + 0) = A))
5		0r 5189	. . . . . 6 |- 0R e. R.
6	5, 5	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (0R e. R. /\ 0R e. R.)
7		addcnsr 5253	. . . . 5 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (0R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.(x +R 0R), (y +R 0R)>.)
8	6, 7	mpan2 696	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.(x +R 0R), (y +R 0R)>.)
9		opeq12 2489	. . . . 5 |- (((x +R 0R) = x /\ (y +R 0R) = y) -> <.(x +R 0R), (y +R 0R)>. = <.x, y>.)
10		0idsr 5206	. . . . 5 |- (x e. R. -> (x +R 0R) = x)
11		0idsr 5206	. . . . 5 |- (y e. R. -> (y +R 0R) = y)
12	9, 10, 11	syl2an 454	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.(x +R 0R), (y +R 0R)>. = <.x, y>.)
13	8, 12	eqtrd 1507	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.x, y>.)
14		df-0 5241	. . . 4 |- 0 = <.0R, 0R>.
15	14	opreq2i 3972	. . 3 |- (<.x, y>. + 0) = (<.x, y>. + <.0R, 0R>.)
16	13, 15	syl5eq 1519	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + 0) = <.x, y>.)
17	1, 4, 16	optocl 3235	1 |- (A e. CC -> (A + 0) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  0Rc0r 4994   +R cplr 4997  CCcc 5232  0cc0 5234   + caddc 5237

This theorem is referenced by:  addid1t 5310  addid2t 5329  addid1 5330  pncant 5397  ltaddpost 5651  addge01t 5672  nnge1t 5943  nnleltp1t 5954  nn0addclt 6120  nnnn0addclt 6125  ser1mono 6337  shftval3t 6348  uzaddclt 6449  expaddt 6596  reim0bt 6775  recjt 6818  faclbnd4lem4 6951  faclbnd6 6954  csbfsum 7027  iserzex 7146  metsym 7816  ipid 8363  sinper 8690  sinhalfpip 8699  efifolem6 8727  normpyct 9013  pjthlem8 9226  pjspansnt 9500  lnfnmul 9973  hstoht 10159  iintlem1 10632

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-0r 5171  df-c 5240  df-0 5241  df-plus 5245

Copyright terms: Public domain