Theorem ax1id 5282

Description: 1 is an identity element for multiplication. Axiom 16 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1id	|- (A e. CC -> (A x. 1) = A)

Proof of Theorem ax1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5240	. 2 |- CC = (R. X. R.)
2		opreq1 3968	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. x. 1) = (A x. 1))
3		id 59	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> <.x, y>. = A)
4	2, 3	eqeq12d 1489	. 2 |- (<.x, y>. = A -> ((<.x, y>. x. 1) = <.x, y>. <-> (A x. 1) = A))
5		1r 5190	. . . . . 6 |- 1R e. R.
6		0r 5189	. . . . . 6 |- 0R e. R.
7	5, 6	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (1R e. R. /\ 0R e. R.)
8		mulcnsr 5254	. . . . 5 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (1R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>.)
9	7, 8	mpan2 696	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>.)
10		00sr 5208	. . . . . . . . 9 |- (y e. R. -> (y .R 0R) = 0R)
11	10	opreq2d 3976	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> (-1R .R (y .R 0R)) = (-1R .R 0R))
12		m1r 5191	. . . . . . . . 9 |- -1R e. R.
13		00sr 5208	. . . . . . . . 9 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 0R) = 0R)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (-1R .R 0R) = 0R
15	11, 14	syl6eq 1523	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> (-1R .R (y .R 0R)) = 0R)
16	15	opreq2d 3976	. . . . . 6 |- (y e. R. -> ((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))) = ((x .R 1R) +R 0R))
17		1idsr 5207	. . . . . . . 8 |- (x e. R. -> (x .R 1R) = x)
18	17	opreq1d 3975	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> ((x .R 1R) +R 0R) = (x +R 0R))
19		0idsr 5206	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> (x +R 0R) = x)
20	18, 19	eqtrd 1507	. . . . . 6 |- (x e. R. -> ((x .R 1R) +R 0R) = x)
21	16, 20	sylan9eqr 1529	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))) = x)
22		00sr 5208	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> (x .R 0R) = 0R)
23	22	opreq2d 3976	. . . . . 6 |- (x e. R. -> ((y .R 1R) +R (x .R 0R)) = ((y .R 1R) +R 0R))
24		1idsr 5207	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> (y .R 1R) = y)
25	24	opreq1d 3975	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> ((y .R 1R) +R 0R) = (y +R 0R))
26		0idsr 5206	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> (y +R 0R) = y)
27	25, 26	eqtrd 1507	. . . . . 6 |- (y e. R. -> ((y .R 1R) +R 0R) = y)
28	23, 27	sylan9eq 1527	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((y .R 1R) +R (x .R 0R)) = y)
29	21, 28	opeq12d 2495	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>. = <.x, y>.)
30	9, 29	eqtrd 1507	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.x, y>.)
31		df-1 5242	. . . 4 |- 1 = <.1R, 0R>.
32	31	opreq2i 3972	. . 3 |- (<.x, y>. x. 1) = (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.)
33	30, 32	syl5eq 1519	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. 1) = <.x, y>.)
34	1, 4, 33	optocl 3235	1 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  0Rc0r 4994  1Rc1r 4995  -1Rcm1r 4996   +R cplr 4997   .R cmr 4998  CCcc 5232  1c1 5235   x. cmul 5239

This theorem is referenced by:  mulid1t 5311  mulid1 5332  mulid2t 5417  muladd11t 5422  muleqaddt 5700  divadddivt 5784  divdivmult 5795  conjmult 5797  mulgt1t 5845  ltmulgt11t 5846  lemulge11t 5848  nnmulclt 5941  expaddt 6596  expmult 6597  sq01t 6651  bernneq 6652  crrecz 6741  facwordit 6944  faclbnd 6945  faclbnd2 6946  faclbnd4lem3 6950  faclbnd6 6954  facavgt 6955  bcn0t 6963  bcnp11t 6965  binomlem1 7066  binomlem4 7069  fnsmnt 7226  geoser 7234  efexpt 7372  efnn0valt 7373  cos01gt0 7477  abseft 7483  cnring 8162  nmoub3i 8436  ipasslem2 8491  ubthlem10 8538  htthlem6 8625  sinper 8690  cosper 8691  nmopub2tALT 9833  nmfnleub2t 9850  nmcopexlem5 9955  nmcfnexlem5 9984  nmopcoadj 10034  branmfnt 10038

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-1 5242  df-mul 5246

Copyright terms: Public domain