Theorem ax1ne0 5280

Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 14 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1ne0	|- 1 =/= 0

Proof of Theorem ax1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0sr 5205	. . . 4 |- -. 1R = 0R
2		1r 5190	. . . . . 6 |- 1R e. R.
3	2	elisseti 1818	. . . . 5 |- 1R e. V
4	3	eqresr 5255	. . . 4 |- (<.1R, 0R>. = <.0R, 0R>. <-> 1R = 0R)
5	1, 4	mtbir 192	. . 3 |- -. <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.
6		df-1 5242	. . . 4 |- 1 = <.1R, 0R>.
7		df-0 5241	. . . 4 |- 0 = <.0R, 0R>.
8	6, 7	eqeq12i 1488	. . 3 |- (1 = 0 <-> <.1R, 0R>. = <.0R, 0R>.)
9	5, 8	mtbir 192	. 2 |- -. 1 = 0
10		df-ne 1587	. 2 |- (1 =/= 0 <-> -. 1 = 0)
11	9, 10	mpbir 190	1 |- 1 =/= 0

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 956   =/= wne 1585  <.cop 2411  R.cnr 4993  0Rc0r 4994  1Rc1r 4995  0cc0 5234  1c1 5235

This theorem is referenced by:  elimne0 5316  ine0 5434  lt01 5680  mulcant2 5688  mulcant2OLD 5689  recne0z 5731  div11t 5765  recrec 5769  div1 5772  recrect 5776  recdivt 5790  divdivmult 5795  recgt0i 5814  expne0it 6588  efseq1ex 7306  erelem2 7320  efne0t 7369  dscmet 7918  ablmul 8131  mulid 8132  vcoprne 8198  efif1lem5 8734  pilog 8768  hvsubcant 8941  hvsubcan2t 8942  norm1ex 9122  kbpjt 9880  large 10194  superpos 10281

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-0 5241  df-1 5242

Copyright terms: Public domain