Theorem axacnd 4983

Description: A version of the Axiom of Choice with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axacnd	|- E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))

Proof of Theorem axacnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacndlem5 4982	. . . 4 |- E.xA.yA.v(A.x(y e. v /\ v e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))
2		hbnae 1149	. . . . . 6 |- (-. A.z z = x -> A.x -. A.z z = x)
3		hbnae 1149	. . . . . . 7 |- (-. A.z z = y -> A.x -. A.z z = y)
4		hbnae 1149	. . . . . . 7 |- (-. A.z z = w -> A.x -. A.z z = w)
5	3, 4	hban 1011	. . . . . 6 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> A.x(-. A.z z = y /\ -. A.z z = w))
6	2, 5	hban 1011	. . . . 5 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> A.x(-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)))
7		hbnae 1149	. . . . . . 7 |- (-. A.z z = x -> A.y -. A.z z = x)
8		hbnae 1149	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = y -> A.y -. A.z z = y)
9		hbnae 1149	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = w -> A.y -. A.z z = w)
10	8, 9	hban 1011	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> A.y(-. A.z z = y /\ -. A.z z = w))
11	7, 10	hban 1011	. . . . . 6 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> A.y(-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)))
12		hbnae 1149	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = x -> A.z -. A.z z = x)
13		hbnae 1149	. . . . . . . . 9 |- (-. A.z z = y -> A.z -. A.z z = y)
14		hbnae 1149	. . . . . . . . 9 |- (-. A.z z = w -> A.z -. A.z z = w)
15	13, 14	hban 1011	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> A.z(-. A.z z = y /\ -. A.z z = w))
16	12, 15	hban 1011	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> A.z(-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)))
17		dveel1 1358	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.z z = y -> (y e. v -> A.z y e. v))
18	17	ad2antrl 408	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (y e. v -> A.z y e. v))
19		dveel2 1359	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.z z = w -> (v e. w -> A.z v e. w))
20	19	ad2antll 409	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (v e. w -> A.z v e. w))
21	18, 20	hband 1113	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> ((y e. v /\ v e. w) -> A.z(y e. v /\ v e. w)))
22	6, 21	hbald 1115	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (A.x(y e. v /\ v e. w) -> A.zA.x(y e. v /\ v e. w)))
23		hbnae 1149	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.z z = x -> A.w -. A.z z = x)
24		hbnae 1149	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.z z = y -> A.w -. A.z z = y)
25		hbnae 1149	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.z z = w -> A.w -. A.z z = w)
26	24, 25	hban 1011	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> A.w(-. A.z z = y /\ -. A.z z = w))
27	23, 26	hban 1011	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> A.w(-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)))
28		ax-15 1362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. A.z z = y -> (-. A.z z = w -> (y e. w -> A.z y e. w)))
29	28	imp 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> (y e. w -> A.z y e. w))
30	29	adantl 390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (y e. w -> A.z y e. w))
31		ax-15 1362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. A.z z = w -> (-. A.z z = x -> (w e. x -> A.z w e. x)))
32	31	impcom 351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = w) -> (w e. x -> A.z w e. x))
33	32	adantrl 396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (w e. x -> A.z w e. x))
34	30, 33	hband 1113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> ((y e. w /\ w e. x) -> A.z(y e. w /\ w e. x)))
35	21, 34	hband 1113	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) -> A.z((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
36	27, 35	hbexd 1116	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) -> A.zE.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
37		ax-12 970	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.z z = y -> (-. A.z z = w -> (y = w -> A.z y = w)))
38	37	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.z z = y /\ -. A.z z = w) -> (y = w -> A.z y = w))
39	38	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (y = w -> A.z y = w))
40	16, 36, 39	hbbid 1114	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> ((E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w) -> A.z(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
41	11, 40	hbald 1115	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (A.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w) -> A.zA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
42	27, 41	hbexd 1116	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> (E.wA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w) -> A.zE.wA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
43	16, 22, 42	hbimd 1112	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ (-. A.z z = y /\ -. A.z z = w)) -> ((A.x(y e. v /\ v e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)) -> A.z(A.x(y e. v /\ v e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. v /\ v e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))))
44		nd5 4961	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.z z = x -> (v = z -> A.x v = z))
45	44	imdistani 445	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.z z = x /\ v = z) -> (-. A.z z = x /\ A.x v = z))
46		hba1 1005	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.x v = z -> A.xA.x v = z)
47		elequ2 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v = z -> (y e. v <-> y e. z))
48		elequ1 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v = z -> (v e. w <-> z e. w))
49	47, 48	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = z -> ((y e. v /\ v e. w) <-> (y e. z /\ z e. w)))
50	49	a4s 986	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.x v = z -> ((y e. v /\ v e. w) <-> (y e. z /\ z e. w)))
51	46, 50	albid 1106	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x v = z -> (A.x(y e. v /\ v e. w) <-> A.x(y e. z /\ z e. w)))
52	51	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.z z = x /\ A.x v