Theorem axaddass 5269

Description: Addition of complex numbers is associative. This theorem transfers the associative laws for the real and imaginary signed real components of complex number pairs, to complex number addition itself. Axiom 11 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddass	|- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> ((A + B) + C) = (A + (B + C)))

Proof of Theorem axaddass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5254	. 2 |- CC = ((R. X. R.)/.`'E)
2		addcnsrec 5255	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'E + [<.z, w>.]`'E) = [<.(x +R z), (y +R w)>.]`'E)
3		addcnsrec 5255	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ([<.z, w>.]`'E + [<.v, u>.]`'E) = [<.(z +R v), (w +R u)>.]`'E)
4		addcnsrec 5255	. 2 |- ((((x +R z) e. R. /\ (y +R w) e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ([<.(x +R z), (y +R w)>.]`'E + [<.v, u>.]`'E) = [<.((x +R z) +R v), ((y +R w) +R u)>.]`'E)
5		addcnsrec 5255	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'E + [<.(z +R v), (w +R u)>.]`'E) = [<.(x +R (z +R v)), (y +R (w +R u))>.]`'E)
6		addclsr 5184	. . . 4 |- ((x e. R. /\ z e. R.) -> (x +R z) e. R.)
7		addclsr 5184	. . . 4 |- ((y e. R. /\ w e. R.) -> (y +R w) e. R.)
8	6, 7	anim12i 333	. . 3 |- (((x e. R. /\ z e. R.) /\ (y e. R. /\ w e. R.)) -> ((x +R z) e. R. /\ (y +R w) e. R.))
9	8	an4s 508	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ((x +R z) e. R. /\ (y +R w) e. R.))
10		addclsr 5184	. . . 4 |- ((z e. R. /\ v e. R.) -> (z +R v) e. R.)
11		addclsr 5184	. . . 4 |- ((w e. R. /\ u e. R.) -> (w +R u) e. R.)
12	10, 11	anim12i 333	. . 3 |- (((z e. R. /\ v e. R.) /\ (w e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
13	12	an4s 508	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
14		visset 1813	. . 3 |- z e. V
15		visset 1813	. . 3 |- v e. V
16	14, 15	addasssr 5189	. 2 |- ((x +R z) +R v) = (x +R (z +R v))
17		visset 1813	. . 3 |- w e. V
18		visset 1813	. . 3 |- u e. V
19	17, 18	addasssr 5189	. 2 |- ((y +R w) +R u) = (y +R (w +R u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 4320	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> ((A + B) + C) = (A + (B + C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  Ecep 2830  `'ccnv 3169  (class class class)co 3963  R.cnr 4985   +R cplr 4989  CCcc 5224   + caddc 5229

This theorem is referenced by:  addasst 5299  addass 5316  add12t 5328  add23t 5329  add4t 5330  cnegextlem1 5337  cnegext 5340  addcan 5343  negeu 5347  addsubasst 5375  muladdt 5413  nnaddclt 5928  nneo 6185  uzaddclt 6435  expaddt 6582  bernneq 6638  ser1absdiflem 6914  faclbnd6 6939  fsum1ps 7003  fsum3 7009  fsum4 7010  binomlem5 7055  bcxmaslem2 7060  bcxmas 7061  ser1cmp2 7162  cvgratlem1ALT 7232  cvgratlem1 7235  fsum0diaglem2 7242  efi4pt 7420  efivalt 7432  cnaddabl 8111  stadd3 10160  golem1 10183  mslb1 10572  2wsms 10573

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4617

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 4992  df-pli 4993  df-mi 4994  df-lti 4995  df-plpq 5027  df-mpq 5028  df-enq 5029  df-nq 5030  df-plq 5031  df-mq 5032  df-rq 5033  df-ltq 5034  df-1q 5035  df-np 5078  df-plp 5080  df-ltp 5082  df-plpr 5156  df-enr 5158  df-nr 5159  df-plr 5160  df-c 5232  df-plus 5237

Copyright terms: Public domain