Theorem axaddcl 5271

Description: Closure law for addition of complex numbers. Axiom 5 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddcl	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)

Proof of Theorem axaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axaddopr 5265	. 2 |- + :(CC X. CC)-->CC
2	1	foprcl 4015	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  (class class class)co 3963  CCcc 5232   + caddc 5237

This theorem is referenced by:  addclt 5301  adddirt 5319  addcl 5320  add4t 5338  peano2cn 5344  cnegextlem3 5347  cnegext 5348  0cnALT 5350  negeu 5355  addsubasst 5383  2addsubt 5389  muladdt 5421  muladd11t 5422  nppcan2t 5470  addsub4t 5473  mulsubt 5477  ppncant 5481  recext 5684  muleqaddt 5700  conjmult 5797  halfaddsubcl 6040  halfaddsubt 6041  uzindOLD 6208  shftval2t 6347  shftval5t 6350  2shft 6352  ser0cl1 6564  bernneq 6652  crret 6769  crimt 6770  recjt 6818  imcjt 6819  sqabsaddt 6848  absreimsqt 6856  absreimt 6857  ser1absdiflem 6929  fsumclt 7015  fsumadd 7022  binomlem5 7070  climaddlem3 7116  serzf0 7169  ser1f0 7170  fnsmnt 7226  cosclt 7432  efi4pt 7435  resin4pt 7436  recos4pt 7437  efivalt 7447  addsint 7457  demoivre 7484  ioo2bl 7912  addcn 7986  4ipval2 8358  4ipval3 8362  ipcj 8367  cnph 8478  minveclem18 8562  minveclem27 8571  cosco 8668  efgh 8718  effoi 8745  hhssnv 9134  hoadddirt 9730  golem1 10198  superpos 10281  mslb1 10629  2wsms 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-c 5240  df-plus 5245

Copyright terms: Public domain