Theorem axaddrcl 5291

Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom 6 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddrcl	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) e. RR)

Proof of Theorem axaddrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5269	. 2 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2		elreal 5269	. 2 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3		opreq1 3975	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. + <.y, 0R>.) = (A + <.y, 0R>.))
4	3	eleq1d 1543	. 2 |- (<.x, 0R>. = A -> ((<.x, 0R>. + <.y, 0R>.) e. RR <-> (A + <.y, 0R>.) e. RR))
5		opreq2 3976	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> (A + <.y, 0R>.) = (A + B))
6	5	eleq1d 1543	. 2 |- (<.y, 0R>. = B -> ((A + <.y, 0R>.) e. RR <-> (A + B) e. RR))
7		addresr 5275	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. + <.y, 0R>.) = <.(x +R y), 0R>.)
8		addclsr 5211	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (x +R y) e. R.)
9		opelreal 5268	. . . 4 |- (<.(x +R y), 0R>. e. RR <-> (x +R y) e. R.)
10	8, 9	sylibr 200	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.(x +R y), 0R>. e. RR)
11	7, 10	eqeltrd 1551	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. + <.y, 0R>.) e. RR)
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 1832	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2416  (class class class)co 3970  R.cnr 5012  0Rc0r 5013   +R cplr 5016  RRcr 5252   + caddc 5256

This theorem is referenced by:  readdclt 5321  readdcl 5353  cnegextlem3 5366  cnegext 5367  peano2re 5455  resubclt 5457  0re 5459  axltadd 5524  ltaddsubt 5650  leaddsubt 5652  ltleaddt 5664  recextlem2 5702  recext 5703  recp1lt1 5910  recrecltt 5911  nnge1t 5952  nnaddm1clt 5967  avglet 6053  zaddclt 6174  uzindOLD 6217  fladdzt 6253  rpaddclt 6298  ser1recl 6339  icoshft 6416  bernneq 6660  absrelet 6876  absimlet 6877  caubnd 6933  ser1absdiflem 6936  fsumreclt 7024  fsumcmp 7047  fsumabs 7050  2climnn 7109  2climnn0 7110  climge0 7119  climaddlem3 7123  climmullem1 7127  climmullem2 7128  climmullem3 7129  climmullem4 7130  climmullem5 7131  climmullem8 7134  climcau 7163  caucvglem5 7168  caucvglem6 7169  caucvg 7170  serzf0 7176  ser1f0 7177  ser1cmp 7181  ser1cmp2lem 7183  ser1cmp2 7184  cvgcmp2lem 7187  infcvglem1 7228  infcvglem3 7230  ivthlem6 7293  ivthlem7 7294  efcn 7430  ruclem13 7530  metxplem3 7832  bl2in 7847  blss 7857  bl2ioo 7915  ioo2bl 7916  blssioo 7917  tgioolem 7918  iscau3 7942  iscau4 7944  lmuni 7955  lmle 7964  lmcau 8000  bcthlem24 8026  bcthlem25 8027  readdsubg 8132  ubthlem11 8542  minveclem21 8568  minveclem27 8574  minveclem31 8578  shftefif1olem 8743  relogmult 8772  hcau2 9057  nmoptri 10029  hmopidmch 10081  hstlet 10160  stadd 10176  stadd3 10178  cdj1 10363  cdj3lem2b 10367  cdj3 10371  truni1 10493  msr4 10605  mslb1 10608  msra3 10610  iintlem1 10611  iint 10613  trdom 10614  trran 10615  trnij 10616  cnvtr 10617

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-0r 5190  df-c 5259  df-r 5263  df-plus 5264

Copyright terms: Public domain