Theorem axhcompl 8823

Description: Derive axiom ax-hcompl 9026 from Hilbert space under ZF set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
axhil.2	|- U e. CHil

Assertion

Ref	Expression
axhcompl	|- (F e. Cauchy -> E.x e. H~ F ~~>v x)

Distinct variable group:   x,F

Proof of Theorem axhcompl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. . . . 5 |- U e. CHil
2		df-hba 8793	. . . . . . 7 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
3		axhil.1	. . . . . . . 8 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
4	3	fveq2i 3725	. . . . . . 7 |- (Base` U) = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
5	2, 4	eqtr4 1497	. . . . . 6 |- H~ = (Base` U)
6		eqid 1475	. . . . . 6 |- (IndMet` U) = (IndMet` U)
7	5, 6	hlcompl 8574	. . . . 5 |- ((U e. CHil /\ F e. (Cau` (IndMet` U))) -> E.y e. H~ F(~~>m` (IndMet` U))y)
8	1, 7	mpan 695	. . . 4 |- (F e. (Cau` (IndMet` U)) -> E.y e. H~ F(~~>m` (IndMet` U))y)
9	8	anim1i 334	. . 3 |- ((F e. (Cau` (IndMet` U)) /\ F e. (H~ ^m NN)) -> (E.y e. H~ F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
10	1	hlnvi 8553	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
11	3, 10, 5, 6	h2hcau 8804	. . . . 5 |- Cauchy = ((Cau` (IndMet` U)) i^i (H~ ^m NN))
12	11	eleq2i 1537	. . . 4 |- (F e. Cauchy <-> F e. ((Cau` (IndMet` U)) i^i (H~ ^m NN)))
13		elin 2205	. . . 4 |- (F e. ((Cau` (IndMet` U)) i^i (H~ ^m NN)) <-> (F e. (Cau` (IndMet` U)) /\ F e. (H~ ^m NN)))
14	12, 13	bitr 173	. . 3 |- (F e. Cauchy <-> (F e. (Cau` (IndMet` U)) /\ F e. (H~ ^m NN)))
15	3, 10, 5, 6	h2hlm 8805	. . . . . . 7 |- ~~>v = ((~~>m` (IndMet` U)) |` (H~ ^m NN))
16	15	breqi 2623	. . . . . 6 |- (F ~~>v y <-> F((~~>m` (IndMet` U)) |` (H~ ^m NN))y)
17		visset 1811	. . . . . . 7 |- y e. V
18	17	brres 3371	. . . . . 6 |- (F((~~>m` (IndMet` U)) |` (H~ ^m NN))y <-> (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
19	16, 18	bitr 173	. . . . 5 |- (F ~~>v y <-> (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
20	19	rexbii 1667	. . . 4 |- (E.y e. H~ F ~~>v y <-> E.y e. H~ (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
21		r19.41v 1762	. . . 4 |- (E.y e. H~ (F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)) <-> (E.y e. H~ F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
22	20, 21	bitr 173	. . 3 |- (E.y e. H~ F ~~>v y <-> (E.y e. H~ F(~~>m` (IndMet` U))y /\ F e. (H~ ^m NN)))
23	9, 14, 22	3imtr4 219	. 2 |- (F e. Cauchy -> E.y e. H~ F ~~>v y)
24		breq2 2621	. . 3 |- (y = x -> (F ~~>v y <-> F ~~>v x))
25	24	cbvrexv 1799	. 2 |- (E.y e. H~ F ~~>v y <-> E.x e. H~ F ~~>v x)
26	23, 25	sylib 198	1 |- (F e. Cauchy -> E.x e. H~ F ~~>v x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1645   i^i cin 2044  <.cop 2409   class class class wbr 2617   |` cres 3170  ` cfv 3180  (class class class)co 3961   ^m cm 4320  NNcn 5284  ~~>mclm 7876  Caucca 7877  Basecba 8162  IndMetcims 8167  CHilchl 8546  H~chil 8743   +h cva 8744   .h csm 8745  normhcno 8749  Cauchyccau 8750   ~~>v chli 8751

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2691  ax-sep 2701  ax-nul 2708  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-un 2864  ax-inf2 4613

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2502  df-int 2532  df-iun 2566  df-br 2618  df-opab 2665  df-tr 2679  df-eprel 2830  df-id 2833  df-po 2838  df-so 2848  df-fr 2915  df-we 2932  df-ord 2949  df-on 2950  df-lim 2951  df-suc 2952  df-om 3130  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fn 3191  df-f 3192  df-f1 3193  df-fo 3194  df-f1o 3195  df-fv 3196  df-rdg 3930  df-opr 3963  df-oprab 3964  df-1st 4077  df-2nd 4078  df-1o 4131  df-oadd 4133  df-omul 4134  df-er 4259  df-ec 4261  df-qs 4264  df-map 4322  df-en 4365  df-dom 4366  df-sdom 4367  df-sup 4562  df-ni 4988  df-pli 4989  df-mi 4990  df-lti 4991  df-plpq 5023  df-mpq 5024  df-enq 5025  df-nq 5026  df-plq 5027  df-mq 5028  df-rq 5029  df-ltq 5030  df-1q 5031  df-np 5074  df-1p 5075  df-plp 5076  df-mp 5077  df-ltp 5078  df-plpr 5152  df-mpr 5153  df-enr 5154  df-nr 5155  df-plr 5156  df-mr 5157  df-ltr 5158  df-0r 5159  df-1r 5160  df-m1r 5161  df-c 5228  df-0 5229  df-1 5230  df-i 5231  df-r 5232  df-plus 5233  df-mul 5234  df-lt 5235  df-sub 5344  df-neg 5346  df-pnf 5475  df-mnf 5476  df-xr 5477  df-ltxr 5478  df-le 5479  df-div 5686  df-n 5893  df-2 5938  df-n0 6068  df-z 6104  df-seq1 6272  df-uz 6378  df-exp 6529  df-sqr 6630  df-re 6711  df-im 6712  df-cj 6713  df-abs 6714  df-met 7750  df-lm 7879  df-cau 7880  df-cmet 7881  df-grp 7994  df-gid 7995  df-ginv 7996  df-gdiv 7997  df-abl 8057  df-vc 8122  df-nv 8168  df-va 8171  df-ba 8172  df-sm 8173  df-0v 8174  df-vs 8175  df-nm 8176  df-ims 8177  df-bn 8480  df-hl 8547  df-hba 8793  df-hvsub 8795  df-hlim 8796  df-hcau 8797

Copyright terms: Public domain