Theorem axhvmul0 8864

Description: Derive axiom ax-hvmul0 8882 from Hilbert space under ZF set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
axhil.2	|- U e. CHil

Assertion

Ref	Expression
axhvmul0	|- (A e. H~ -> (0 .h A) = 0h)

Proof of Theorem axhvmul0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 |- U e. CHil
2		df-hba 8840	. . . 4 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
3		axhil.1	. . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
4	3	fveq2i 3734	. . . 4 |- (Base` U) = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
5	2, 4	eqtr4 1501	. . 3 |- H~ = (Base` U)
6	1	hlnvi 8599	. . . 4 |- U e. NrmCVec
7	3, 6	h2hsm 8846	. . 3 |- .h = (.s` U)
8		df-h0v 8841	. . . 4 |- 0h = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
9	3	fveq2i 3734	. . . 4 |- (0v` U) = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
10	8, 9	eqtr4 1501	. . 3 |- 0h = (0v` U)
11	5, 7, 10	hlmul0 8614	. 2 |- ((U e. CHil /\ A e. H~) -> (0 .h A) = 0h)
12	1, 11	mpan 697	1 |- (A e. H~ -> (0 .h A) = 0h)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2416  ` cfv 3189  (class class class)co 3970  0cc0 5253  Basecba 8208  0vcn0v 8210  CHilchl 8592  H~chil 8790   +h cva 8791   .h csm 8792  0hc0v 8793  normhcno 8796

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687  df-eprel 2839  df-id 2842  df-po 2847  df-so 2857  df-fr 2924  df-we 2941  df-ord 2958  df-on 2959  df-lim 2960  df-suc 2961  df-om 3139  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-f 3201  df-fo 3203  df-fv 3205  df-rdg 3939  df-opr 3972  df-oprab 3973  df-1st 4086  df-2nd 4087  df-1o 4140  df-oadd 4142  df-omul 4143  df-er 4268  df-ec 4270  df-qs 4273  df-ni 5019  df-pli 5020  df-mi 5021  df-lti 5022  df-plpq 5054  df-mpq 5055  df-enq 5056  df-nq 5057  df-plq 5058  df-mq 5059  df-rq 5060  df-ltq 5061  df-1q 5062  df-np 5105  df-1p 5106  df-plp 5107  df-mp 5108  df-ltp 5109  df-plpr 5183  df-mpr 5184  df-enr 5185  df-nr 5186  df-plr 5187  df-mr 5188  df-ltr 5189  df-0r 5190  df-1r 5191  df-m1r 5192  df-c 5259  df-0 5260  df-1 5261  df-i 5262  df-r 5263  df-plus 5264  df-mul 5265  df-sub 5375  df-neg 5377  df-grp 8041  df-gid 8042  df-ginv 8043  df-abl 8103  df-vc 8168  df-nv 8214  df-va 8217  df-ba 8218  df-sm 8219  df-0v 8220  df-nm 8222  df-bn 8526  df-hl 8593  df-hba 8840  df-h0v 8841

Copyright terms: Public domain