Theorem axi2m1 5285

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 19 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	|- ((i x. i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 5189	. . . . . . 7 |- 0R e. R.
2		1r 5190	. . . . . . 7 |- 1R e. R.
3	1, 2	pm3.2i 285	. . . . . 6 |- (0R e. R. /\ 1R e. R.)
4		mulcnsr 5254	. . . . . 6 |- (((0R e. R. /\ 1R e. R.) /\ (0R e. R. /\ 1R e. R.)) -> (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>.)
5	3, 3, 4	mp2an 697	. . . . 5 |- (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>.
6		00sr 5208	. . . . . . . . 9 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0R .R 0R) = 0R
8		1idsr 5207	. . . . . . . . . . 11 |- (1R e. R. -> (1R .R 1R) = 1R)
9	2, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (1R .R 1R) = 1R
10	9	opreq2i 3972	. . . . . . . . 9 |- (-1R .R (1R .R 1R)) = (-1R .R 1R)
11		m1r 5191	. . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
12		1idsr 5207	. . . . . . . . . 10 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 1R) = -1R)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (-1R .R 1R) = -1R
14	10, 13	eqtr 1495	. . . . . . . 8 |- (-1R .R (1R .R 1R)) = -1R
15	7, 14	opreq12i 3973	. . . . . . 7 |- ((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))) = (0R +R -1R)
16	1	elisseti 1818	. . . . . . . 8 |- 0R e. V
17	11	elisseti 1818	. . . . . . . 8 |- -1R e. V
18	16, 17	addcomsr 5196	. . . . . . 7 |- (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
19		0idsr 5206	. . . . . . . 8 |- (-1R e. R. -> (-1R +R 0R) = -1R)
20	11, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (-1R +R 0R) = -1R
21	15, 18, 20	3eqtr 1499	. . . . . 6 |- ((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))) = -1R
22		00sr 5208	. . . . . . . . 9 |- (1R e. R. -> (1R .R 0R) = 0R)
23	2, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (1R .R 0R) = 0R
24		1idsr 5207	. . . . . . . . 9 |- (0R e. R. -> (0R .R 1R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (0R .R 1R) = 0R
26	23, 25	opreq12i 3973	. . . . . . 7 |- ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R)) = (0R +R 0R)
27		0idsr 5206	. . . . . . . 8 |- (0R e. R. -> (0R +R 0R) = 0R)
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0R +R 0R) = 0R
29	26, 28	eqtr 1495	. . . . . 6 |- ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R)) = 0R
30	21, 29	opeq12i 2492	. . . . 5 |- <.((0R .R 0R) +R (-1R .R (1R .R 1R))), ((1R .R 0R) +R (0R .R 1R))>. = <.-1R, 0R>.
31	5, 30	eqtr 1495	. . . 4 |- (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) = <.-1R, 0R>.
32	31	opreq1i 3971	. . 3 |- ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.) = (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.)
33		addresr 5256	. . . 4 |- ((-1R e. R. /\ 1R e. R.) -> (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.) = <.(-1R +R 1R), 0R>.)
34	11, 2, 33	mp2an 697	. . 3 |- (<.-1R, 0R>. + <.1R, 0R>.) = <.(-1R +R 1R), 0R>.
35		m1p1sr 5201	. . . 4 |- (-1R +R 1R) = 0R
36	35	opeq1i 2490	. . 3 |- <.(-1R +R 1R), 0R>. = <.0R, 0R>.
37	32, 34, 36	3eqtr 1499	. 2 |- ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.) = <.0R, 0R>.
38		df-i 5243	. . . 4 |- i = <.0R, 1R>.
39	38, 38	opreq12i 3973	. . 3 |- (i x. i) = (<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.)
40		df-1 5242	. . 3 |- 1 = <.1R, 0R>.
41	39, 40	opreq12i 3973	. 2 |- ((i x. i) + 1) = ((<.0R, 1R>. x. <.0R, 1R>.) + <.1R, 0R>.)
42		df-0 5241	. 2 |- 0 = <.0R, 0R>.
43	37, 41, 42	3eqtr4 1505	1 |- ((i x. i) + 1) = 0

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  0Rc0r 4994  1Rc1r 4995  -1Rcm1r 4996   +R cplr 4997   .R cmr 4998  0cc0 5234  1c1 5235  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239

This theorem is referenced by:  0cn 5328  ine0 5434  ixi 5681  inelr 6735

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-plus 5245  df-mul 5246

Copyright terms: Public domain