Theorem axicn 5270

Description: i is a complex number. Axiom 4 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axicn	|- i e. CC

Proof of Theorem axicn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i 5243	. . . 4 |- i = <.0R, 1R>.
2	1	eleq1i 1537	. . 3 |- (i e. CC <-> <.0R, 1R>. e. CC)
3		1r 5190	. . . . 5 |- 1R e. R.
4	3	elisseti 1818	. . . 4 |- 1R e. V
5	4	opelcn 5248	. . 3 |- (<.0R, 1R>. e. CC <-> (0R e. R. /\ 1R e. R.))
6	2, 5	bitr 173	. 2 |- (i e. CC <-> (0R e. R. /\ 1R e. R.))
7		0r 5189	. 2 |- 0R e. R.
8	6, 7, 3	mpbir2an 730	1 |- i e. CC

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 958  <.cop 2411  R.cnr 4993  0Rc0r 4994  1Rc1r 4995  CCcc 5232  ici 5236

This theorem is referenced by:  0cn 5328  cnegextlem2 5346  cnegext 5348  0cnALT 5350  ine0 5434  1re 5435  ixi 5681  recextlem1 5682  recextlem2 5683  recext 5684  irec 6731  i2 6732  i3 6733  i4 6734  crulem 6736  cru 6737  crne0 6739  crmul 6740  crrecz 6741  rimul 6744  nthruc 6745  cjclt 6764  crret 6769  crimt 6770  imret 6773  reim0t 6774  reim0bt 6775  rerebt 6776  mulretOLD 6777  cjcj 6778  cjreb 6781  recj 6782  imcj 6783  readd 6784  imadd 6785  cjadd 6788  cjmul 6789  reneg 6794  imneg 6796  cjneg 6797  addcj 6798  recjt 6818  imcjt 6819  rei 6824  imi 6825  cji 6827  cjreimt 6828  cjreim2t 6829  cj11t 6830  abs00 6842  absreimsqt 6856  absreimt 6857  absi 6878  recant 6905  caucvg3a 7164  caucvg3lem 7166  abspef01tlub 7395  sinclt 7431  cosclt 7432  resinvalt 7433  recosvalt 7434  efi4pt 7435  resin4pt 7436  recos4pt 7437  resinclt 7438  recosclt 7439  sinnegt 7442  cosnegt 7443  sin0 7444  cos0 7446  efivalt 7447  efmivalt 7448  efeult 7449  sinadd 7451  cosadd 7452  sin01bndlem2 7468  sin01bndlem3 7469  cos01bndlem2 7470  cos01bndlem3 7471  abseft 7483  demoivre 7484  demoivreALT 7485  nvpi 8294  ipval2 8357  4ipval2 8358  ipval3 8359  4ipval3 8362  ipid 8363  ipcl 8365  ipcj 8367  ip0r 8370  ip1cnilem1 8373  ip1cnilem2 8374  ip1cnilem3 8375  ip1cnilem4 8376  ip1cnilem5 8377  ip1cnilem6 8378  sspival 8397  ip1ilem 8485  ipasslem10 8499  ipasslem11 8500  sincolem 8665  sincnlem 8666  sinco 8667  sincn 8669  eulerid 8683  sinperlem1 8686  efimpi 8698  efif 8721  efif1lem4 8733  efielcirc 8739  circgrp 8740  shftefif1olem 8741  eff1lem 8743  eff1i 8744  effoi 8745  efper 8747  pilog 8768  polid2 9024  polid 9025  lnopeq0lem1 9930  lnopeq0 9932  lnophmlem2 9942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-enr 5166  df-nr 5167  df-0r 5171  df-1r 5172  df-c 5240  df-i 5243

Copyright terms: Public domain