Theorem axlttrn 5504

Description: Ordering on reals is transitive. Axiom 23 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axlttrn 5288 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axlttrn	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))

Proof of Theorem axlttrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axlttrn 5288	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <R B /\ B <R C) -> A <R C))
2		ltxrltt 5500	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> A <R B))
3	2	3adant3 799	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B <-> A <R B))
4		ltxrltt 5500	. . . 4 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C <-> B <R C))
5	4	3adant1 797	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (B < C <-> B <R C))
6	3, 5	anbi12d 628	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) <-> (A <R B /\ B <R C)))
7		ltxrltt 5500	. . 3 |- ((A e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> A <R C))
8	7	3adant2 798	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < C <-> A <R C))
9	1, 6, 8	3imtr4d 543	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A < B /\ B < C) -> A < C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958   class class class wbr 2619  RRcr 5233   <R cltrr 5238   < clt 5486

This theorem is referenced by:  lttrt 5508  ltso 5512  lelttrt 5523  ltletrt 5524  lttrd 5529  xrlttrt 5553  lttr 5585  mulgt1t 5845  recgt1it 5900  recrecltt 5902  nnge1t 5943  sup2 6051  lt0nnn0 6116  nn0ltp1let 6127  zltp1let 6181  recnzt 6191  gtndivt 6193  ioojoint 6416  expordit 6600  expnbndt 6654  sqrlem6 6678  fsumsplit 7020  climmullem5 7124  caucvglem2 7158  caucvglem4 7160  georeclim 7240  geoisumr 7243  cvgratlem1ALT 7247  cvgratlem1 7250  ivthlem7 7287  sin01gt0 7476  cos01gt0 7477  bcthlem1 7999  bcthlem21 8019  bcthlem25 8023  projlem26 9211  projlem28 9213

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490

Copyright terms: Public domain