Theorem axmulgt0 5494

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 25 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axmulgt0 5278 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axmulgt0	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A x. B)))

Proof of Theorem axmulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axmulgt0 5278	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B)))
2		0re 5428	. . . 4 |- 0 e. RR
3		ltxrltt 5488	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 < A <-> 0 <R A))
4	2, 3	mpan 695	. . 3 |- (A e. RR -> (0 < A <-> 0 <R A))
5		ltxrltt 5488	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ B e. RR) -> (0 < B <-> 0 <R B))
6	2, 5	mpan 695	. . 3 |- (B e. RR -> (0 < B <-> 0 <R B))
7	4, 6	bi2anan9 632	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) <-> (0 <R A /\ 0 <R B)))
8		axmulrcl 5262	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)
9		ltxrltt 5488	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ (A x. B) e. RR) -> (0 < (A x. B) <-> 0 <R (A x. B)))
10	2, 9	mpan 695	. . 3 |- ((A x. B) e. RR -> (0 < (A x. B) <-> 0 <R (A x. B)))
11	8, 10	syl 10	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (0 < (A x. B) <-> 0 <R (A x. B)))
12	1, 7, 11	3imtr4d 543	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) -> 0 < (A x. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958   class class class wbr 2617  (class class class)co 3961  RRcr 5221  0cc0 5222   <R cltrr 5226   x. cmul 5227   < clt 5474

This theorem is referenced by:  mulgt0t 5497  mulgt0 5594  rpmulclt 6255  expgt0t 6549  sin02gt0 7435  znnen 7459  sinq12gt0t 8665

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2691  ax-sep 2701  ax-nul 2708  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-un 2864  ax-inf2 4613

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2502  df-int 2532  df-iun 2566  df-br 2618  df-opab 2665  df-tr 2679  df-eprel 2830  df-id 2833  df-po 2838  df-so 2848  df-fr 2915  df-we 2932  df-ord 2949  df-on 2950  df-lim 2951  df-suc 2952  df-om 3130  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fn 3191  df-f 3192  df-f1 3193  df-fo 3194  df-f1o 3195  df-fv 3196  df-rdg 3930  df-opr 3963  df-oprab 3964  df-1st 4077  df-2nd 4078  df-1o 4131  df-oadd 4133  df-omul 4134  df-er 4259  df-ec 4261  df-qs 4264  df-en 4365  df-dom 4366  df-sdom 4367  df-ni 4988  df-pli 4989  df-mi 4990  df-lti 4991  df-plpq 5023  df-mpq 5024  df-enq 5025  df-nq 5026  df-plq 5027  df-mq 5028  df-rq 5029  df-ltq 5030  df-1q 5031  df-np 5074  df-1p 5075  df-plp 5076  df-mp 5077  df-ltp 5078  df-plpr 5152  df-mpr 5153  df-enr 5154  df-nr 5155  df-plr 5156  df-mr 5157  df-ltr 5158  df-0r 5159  df-1r 5160  df-m1r 5161  df-c 5228  df-0 5229  df-1 5230  df-i 5231  df-r 5232  df-plus 5233  df-mul 5234  df-lt 5235  df-pnf 5475  df-mnf 5476  df-xr 5477  df-ltxr 5478

Copyright terms: Public domain