Theorem axmulrcl 5274

Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom 8 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulrcl	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)

Proof of Theorem axmulrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5250	. 2 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2		elreal 5250	. 2 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3		opreq1 3968	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = (A x. <.y, 0R>.))
4	3	eleq1d 1540	. 2 |- (<.x, 0R>. = A -> ((<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) e. RR <-> (A x. <.y, 0R>.) e. RR))
5		opreq2 3969	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> (A x. <.y, 0R>.) = (A x. B))
6	5	eleq1d 1540	. 2 |- (<.y, 0R>. = B -> ((A x. <.y, 0R>.) e. RR <-> (A x. B) e. RR))
7		visset 1813	. . . 4 |- y e. V
8	7	mulresr 5257	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = <.(x .R y), 0R>.)
9		mulclsr 5193	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (x .R y) e. R.)
10		opelreal 5249	. . . 4 |- (<.(x .R y), 0R>. e. RR <-> (x .R y) e. R.)
11	9, 10	sylibr 200	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.(x .R y), 0R>. e. RR)
12	8, 11	eqeltrd 1548	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) e. RR)
13	1, 2, 4, 6, 12	2gencl 1829	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A x. B) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  0Rc0r 4994   .R cmr 4998  RRcr 5233   x. cmul 5239

This theorem is referenced by:  remulclt 5304  remulcl 5335  1re 5435  axmulgt0 5506  recextlem2 5683  recext 5684  lemul1t 5832  ltmul12it 5841  lemul12ait 5842  lemul12itOLD 5843  mulgt1t 5845  ltdivmult 5867  ltdivmultOLD 5868  ledivmultOLD 5869  lt2mul2divt 5872  lemuldivt 5874  lemuldivtOLD 5875  ltdiv23t 5892  lediv23t 5893  avglet 6044  zmulclt 6180  qbtwnre 6278  rpmulclt 6291  reexpclt 6580  expubndt 6608  bernneq 6652  expnbndt 6654  discrlem3 6658  sqr0 6672  sqrlem5 6677  sqrlem6 6678  sqrlem12 6684  mulretOLD 6777  faclbnd 6945  faclbnd3 6947  faclbnd5 6953  faclbnd6 6954  facavgt 6955  climmullem4 7123  cvgcmp2clem 7182  cvgratlem1ALT 7247  cvgratlem1 7250  cvgratlem4 7253  erelem1 7319  abspef01tlub 7395  efcnlem2 7420  sin01bndlem2 7468  cos01bndlem2 7470  cos01gt0 7477  sin02gt0 7478  znnen 7502  ruclem13 7522  bl2in 7843  nmoub3i 8436  blocni 8465  ubthlem12 8540  ubthlem13 8541  ubthlem14 8542  minveclem21 8565  minveclem25 8569  minveclem26 8570  minveclem27 8571  htthlem6 8625  htthlem8 8627  sinperlem1 8686  sinq12gt0t 8708  relogexpt 8774  bcs2t 9049  occllem6 9178  pjthlem8 9226  pjthlem10 9228  nmopub2tALT 9833  nmfnleub2t 9850  nmophm 9961  bdophm 9962  lnopcon 9963  lnfncon 9990  cnlnadjlem2 10001  cnlnadjlem7 10006  nmopadjlem 10022  nmopcoadj 10034  branmfnt 10038  leopnmidt 10071  cdj1 10360  cdj3lem2b 10364  cdj3 10368  mslb1 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-m1r 5173  df-c 5240  df-r 5244  df-mul 5246

Copyright terms: Public domain