Theorem axresscn 5256

Description: The real numbers are a subset of the complex numbers. Axiom 2 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axresscn	|- RR (_ CC

Proof of Theorem axresscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2078	. . 3 |- R. (_ R.
2		0r 5177	. . . 4 |- 0R e. R.
3		snssi 2464	. . . 4 |- (0R e. R. -> {0R} (_ R.)
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- {0R} (_ R.
5		ssxp 3254	. . 3 |- ((R. (_ R. /\ {0R} (_ R.) -> (R. X. {0R}) (_ (R. X. R.))
6	1, 4, 5	mp2an 697	. 2 |- (R. X. {0R}) (_ (R. X. R.)
7		df-r 5232	. 2 |- RR = (R. X. {0R})
8		df-c 5228	. 2 |- CC = (R. X. R.)
9	6, 7, 8	3sstr4 2098	1 |- RR (_ CC

Syntax hints:   e. wcel 958   (_ wss 2045  {csn 2407   X. cxp 3166  R.cnr 4981  0Rc0r 4982  CCcc 5220  RRcr 5221

This theorem is referenced by:  ax1cn 5257  reex 5300  recnt 5301  recn 5302  nnsscn 5896  nn0sscn 6072  qsscn 6229  ser1mono 6301  reexpclt 6540  rpexpclt 6542  nthruc 6705  seq1ublem 6869  ser1absdiflem 6887  climserzle 7105  climsup 7113  caucvglem2 7116  caucvg 7121  cvgcmp2clem 7140  cvgcmp3c 7144  abscncf 7233  recncf 7234  imcncf 7235  ivthlem4 7242  ivthlem6 7244  ivthlem7 7245  ivthlem8 7246  ivthlem9 7247  isupivth 7248  reeff1 7367  reeff1olem1 7381  reeff1o 7383  remetba 7866  readdsubg 8086  abscncfALT 8301  ipasslem7 8453  pilem1 8628  efifolem1 8677  circgrp 8695

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2691  ax-sep 2701  ax-nul 2708  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-un 2864  ax-inf2 4613

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2502  df-int 2532  df-iun 2566  df-br 2618  df-opab 2665  df-tr 2679  df-eprel 2830  df-id 2833  df-po 2838  df-so 2848  df-fr 2915  df-we 2932  df-ord 2949  df-on 2950  df-lim 2951  df-suc 2952  df-om 3130  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fn 3191  df-f 3192  df-fv 3196  df-rdg 3930  df-opr 3963  df-oprab 3964  df-1st 4077  df-2nd 4078  df-1o 4131  df-oadd 4133  df-omul 4134  df-er 4259  df-ec 4261  df-qs 4264  df-ni 4988  df-pli 4989  df-mi 4990  df-lti 4991  df-plpq 5023  df-mpq 5024  df-enq 5025  df-nq 5026  df-plq 5027  df-mq 5028  df-rq 5029  df-ltq 5030  df-1q 5031  df-np 5074  df-1p 5075  df-enr 5154  df-nr 5155  df-0r 5159  df-c 5228  df-r 5232

Copyright terms: Public domain