Theorem axrrecex 5284

Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 18 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axrrecex	|- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> E.x e. RR (A x. x) = 1)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem axrrecex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5250	. . 3 |- (A e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = A))
2		neeq1 1590	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = A -> (<.y, 0R>. =/= 0 <-> A =/= 0))
3		opreq1 3968	. . . . . 6 |- (<.y, 0R>. = A -> (<.y, 0R>. x. x) = (A x. x))
4	3	eqeq1d 1483	. . . . 5 |- (<.y, 0R>. = A -> ((<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> (A x. x) = 1))
5	4	rexbidv 1664	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = A -> (E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> E.x e. RR (A x. x) = 1))
6	2, 5	imbi12d 626	. . 3 |- (<.y, 0R>. = A -> ((<.y, 0R>. =/= 0 -> E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1) <-> (A =/= 0 -> E.x e. RR (A x. x) = 1)))
7		visset 1813	. . . . . . 7 |- y e. V
8	7	recexsr 5216	. . . . . 6 |- (y e. R. -> (-. y = 0R -> E.z(z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
9		visset 1813	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. V
10	9	mulresr 5257	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = <.(y .R z), 0R>.)
11	10	eqeq1d 1483	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1 <-> <.(y .R z), 0R>. = 1))
12		df-1 5242	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = <.1R, 0R>.
13	12	eqeq2i 1485	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.(y .R z), 0R>. = 1 <-> <.(y .R z), 0R>. = <.1R, 0R>.)
14		oprex 3983	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y .R z) e. V
15	14	eqresr 5255	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.(y .R z), 0R>. = <.1R, 0R>. <-> (y .R z) = 1R)
16	13, 15	bitr 173	. . . . . . . . . . 11 |- (<.(y .R z), 0R>. = 1 <-> (y .R z) = 1R)
17	11, 16	syl6bb 536	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1 <-> (y .R z) = 1R))
18	17	pm5.32da 649	. . . . . . . . 9 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
19		opelreal 5249	. . . . . . . . . 10 |- (<.z, 0R>. e. RR <-> z e. R.)
20	19	anbi1i 481	. . . . . . . . 9 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1))
21	18, 20	syl5bb 532	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
22		opex 2782	. . . . . . . . 9 |- <.z, 0R>. e. V
23		eleq1 1534	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, 0R>. -> (x e. RR <-> <.z, 0R>. e. RR))
24		opreq2 3969	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.z, 0R>. -> (<.y, 0R>. x. x) = (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.))
25	24	eqeq1d 1483	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, 0R>. -> ((<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1))
26	23, 25	anbi12d 628	. . . . . . . . 9 |- (x = <.z, 0R>. -> ((x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1) <-> (<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1)))
27	22, 26	cla4ev 1869	. . . . . . . 8 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1))
28	21, 27	syl6bir 215	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (y .R z) = 1R) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
29	28	19.23adv 1214	. . . . . 6 |- (y e. R. -> (E.z(z e. R. /\ (y .R z) = 1R) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
30	8, 29	syld 27	. . . . 5 |- (y e. R. -> (-. y = 0R -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
31		df-0 5241	. . . . . . . 8 |- 0 = <.0R, 0R>.
32	31	eqeq2i 1485	. . . . . . 7 |- (<.y, 0R>. = 0 <-> <.y, 0R>. = <.0R, 0R>.)
33	7	eqresr 5255	. . . . . . 7 |- (<.y, 0R>. = <.0R, 0R>. <-> y = 0R)
34	32, 33	bitr 173	. . . . . 6 |- (<.y, 0R>. = 0 <-> y = 0R)
35	34	negbii 187	. . . . 5 |- (-. <.y, 0R>. = 0 <-> -. y = 0R)
36	30, 35	syl5ib 206	. . . 4 |- (y e. R. -> (-. <.y, 0R>. = 0 -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
37		df-ne 1587	. . . 4 |- (<.y, 0R>. =/= 0 <-> -. <.y, 0R>. = 0)
38		df-rex 1650	. . . 4 |- (E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1))
39	36, 37, 38	3imtr4g 553	. . 3 |- (y e. R. -> (<.y, 0R>. =/= 0 -> E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1))
40	1, 6, 39	gencl 1828	. 2 |- (A e. RR -> (A =/= 0 -> E.x e. RR (A x. x) = 1))
41	40	imp 350	1 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> E.x e. RR (A x. x) = 1)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  E.wrex 1646  <.cop 2411  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  0Rc0r 4994  1Rc1r 4995   .R cmr 4998  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   x. cmul 5239

This theorem is referenced by:  1re 5435  recext 5684  redivcl 5798

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-r 5244  df-mul 5246

Copyright terms: Public domain