Theorem axsup 5499

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 27 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axsup 5283 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axsup	|- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axsup 5283	. . . 4 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <R x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2	1	3expia 835	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y <R x -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
3		ltxrltt 5492	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
4		ssel2 2064	. . . . . . . 8 |- ((A (_ RR /\ y e. A) -> y e. RR)
5	3, 4	sylan 448	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR /\ y e. A) /\ x e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
6	5	an1rs 489	. . . . . 6 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (y < x <-> y <R x))
7	6	ralbidva 1659	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. A y < x <-> A.y e. A y <R x))
8	7	rexbidva 1660	. . . 4 |- (A (_ RR -> (E.x e. RR A.y e. A y < x <-> E.x e. RR A.y e. A y <R x))
9	8	adantr 389	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y < x <-> E.x e. RR A.y e. A y <R x))
10		ltxrltt 5492	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
11	10	ancoms 436	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
12	11, 4	sylan 448	. . . . . . . . 9 |- (((A (_ RR /\ y e. A) /\ x e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
13	12	an1rs 489	. . . . . . . 8 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (x < y <-> x <R y))
14	13	negbid 611	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (-. x < y <-> -. x <R y))
15	14	ralbidva 1659	. . . . . 6 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. A -. x < y <-> A.y e. A -. x <R y))
16	3	ancoms 436	. . . . . . . . 9 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
17	16	adantll 392	. . . . . . . 8 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
18		ltxrltt 5492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
19	18	ancoms 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR /\ y e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
20		ssel2 2064	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
21	19, 20	sylan 448	. . . . . . . . . . 11 |- (((A (_ RR /\ z e. A) /\ y e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
22	21	an1rs 489	. . . . . . . . . 10 |- (((A (_ RR /\ y e. RR) /\ z e. A) -> (y < z <-> y <R z))
23	22	rexbidva 1660	. . . . . . . . 9 |- ((A (_ RR /\ y e. RR) -> (E.z e. A y < z <-> E.z e. A y <R z))
24	23	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> (E.z e. A y < z <-> E.z e. A y <R z))
25	17, 24	imbi12d 626	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> ((y < x -> E.z e. A y < z) <-> (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
26	25	ralbidva 1659	. . . . . 6 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z) <-> A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
27	15, 26	anbi12d 628	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ x e. RR) -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
28	27	rexbidva 1660	. . . 4 |- (A (_ RR -> (E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
29	28	adantr 389	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
30	2, 9, 29	3imtr4d 543	. 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y < x -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
31	30	3impia 830	1 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  RRcr 5225   <R cltrr 5230   < clt 5478

This theorem is referenced by:  sup2 6039  sqrlem7 6665  sqrlem8 6666  sqrlem13 6671  sqrlem18 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4617

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 4992  df-pli 4993  df-mi 4994  df-lti 4995  df-plpq 5027  df-mpq 5028  df-enq 5029  df-nq 5030  df-plq 5031  df-mq 5032  df-rq 5033  df-ltq 5034  df-1q 5035  df-np 5078  df-1p 5079  df-plp 5080  df-mp 5081  df-ltp 5082  df-plpr 5156  df-mpr 5157  df-enr 5158  df-nr 5159  df-plr 5160  df-mr 5161  df-ltr 5162  df-0r 5163  df-1r 5164  df-m1r 5165  df-c 5232  df-r 5236  df-lt 5239  df-pnf 5479  df-mnf 5480  df-xr 5481  df-ltxr 5482

Copyright terms: Public domain