Theorem axunndlem1 4966

Description: Lemma for the Axiom of Union with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axunndlem1	|- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Distinct variable groups:   x,y   x,z

Proof of Theorem axunndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbae 1147	. . . . . 6 |- (A.y y = z -> A.xA.y y = z)
2		en2lp 4618	. . . . . . . 8 |- -. (y e. x /\ x e. y)
3		elequ2 1139	. . . . . . . . 9 |- (y = z -> (x e. y <-> x e. z))
4	3	anbi2d 618	. . . . . . . 8 |- (y = z -> ((y e. x /\ x e. y) <-> (y e. x /\ x e. z)))
5	2, 4	mtbii 718	. . . . . . 7 |- (y = z -> -. (y e. x /\ x e. z))
6	5	a4s 986	. . . . . 6 |- (A.y y = z -> -. (y e. x /\ x e. z))
7	1, 6	nexd 1104	. . . . 5 |- (A.y y = z -> -. E.x(y e. x /\ x e. z))
8	7	pm2.21d 78	. . . 4 |- (A.y y = z -> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
9	8	a5i 991	. . 3 |- (A.y y = z -> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
10		19.8a 1031	. . 3 |- (A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x) -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
11	9, 10	syl 10	. 2 |- (A.y y = z -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
12		axun 2874	. . 3 |- E.xA.w(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x)
13		hbnae 1149	. . . 4 |- (-. A.y y = z -> A.x -. A.y y = z)
14		hbnae 1149	. . . . 5 |- (-. A.y y = z -> A.y -. A.y y = z)
15		ax-17 973	. . . . . . . . 9 |- (w e. x -> A.y w e. x)
16	15	a1i 8	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> (w e. x -> A.y w e. x))
17		dveel2 1359	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> (x e. z -> A.y x e. z))
18	16, 17	hband 1113	. . . . . . 7 |- (-. A.y y = z -> ((w e. x /\ x e. z) -> A.y(w e. x /\ x e. z)))
19	13, 18	hbexd 1116	. . . . . 6 |- (-. A.y y = z -> (E.x(w e. x /\ x e. z) -> A.yE.x(w e. x /\ x e. z)))
20	14, 19, 16	hbimd 1112	. . . . 5 |- (-. A.y y = z -> ((E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) -> A.y(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x)))
21		elequ1 1138	. . . . . . . . 9 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
22	21	anbi1d 619	. . . . . . . 8 |- (w = y -> ((w e. x /\ x e. z) <-> (y e. x /\ x e. z)))
23	22	exbidv 1281	. . . . . . 7 |- (w = y -> (E.x(w e. x /\ x e. z) <-> E.x(y e. x /\ x e. z)))
24	23, 21	imbi12d 628	. . . . . 6 |- (w = y -> ((E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
25	24	a1i 8	. . . . 5 |- (-. A.y y = z -> (w = y -> ((E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))))
26	14, 20, 25	cbvald 1322	. . . 4 |- (-. A.y y = z -> (A.w(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
27	13, 26	exbid 1107	. . 3 |- (-. A.y y = z -> (E.xA.w(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
28	12, 27	mpbii 193	. 2 |- (-. A.y y = z -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
29	11, 28	pm2.61i 126	1 |- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982

This theorem is referenced by:  axunnd 4967

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-reg 4609

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-br 2626  df-opab 2673  df-eprel 2839  df-fr 2924

Copyright terms: Public domain