Theorem bafval 8223

Description: Value of the function for the base set of a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
bafval.1	|- X = (Base` U)
bafval.2	|- G = (+v` U)

Assertion

Ref	Expression
bafval	|- X = ran G

Proof of Theorem bafval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3732	. . . . . 6 |- (+v` U) e. V
2	1	rnex 3361	. . . . 5 |- ran (+v` U) e. V
3		fveq2 3724	. . . . . . 7 |- (x = U -> (+v` x) = (+v` U))
4	3	rneqd 3341	. . . . . 6 |- (x = U -> ran (+v` x) = ran (+v` U))
5	4	fvopabg 3785	. . . . 5 |- ((U e. V /\ ran (+v` U) e. V) -> ({<.x, y>. | y = ran (+v` x)}` U) = ran (+v` U))
6	2, 5	mpan2 696	. . . 4 |- (U e. V -> ({<.x, y>. | y = ran (+v` x)}` U) = ran (+v` U))
7		df-ba 8215	. . . . 5 |- Base = {<.x, y>. | y = ran (+v` x)}
8	7	fveq1i 3725	. . . 4 |- (Base` U) = ({<.x, y>. | y = ran (+v` x)}` U)
9	6, 8	syl5eq 1519	. . 3 |- (U e. V -> (Base` U) = ran (+v` U))
10		fvprc 3721	. . . 4 |- (-. U e. V -> (Base` U) = (/))
11		fvprc 3721	. . . . . 6 |- (-. U e. V -> (+v` U) = (/))
12	11	rneqd 3341	. . . . 5 |- (-. U e. V -> ran (+v` U) = ran (/))
13		rn0 3355	. . . . 5 |- ran (/) = (/)
14	12, 13	syl6eq 1523	. . . 4 |- (-. U e. V -> ran (+v` U) = (/))
15	10, 14	eqtr4d 1510	. . 3 |- (-. U e. V -> (Base` U) = ran (+v` U))
16	9, 15	pm2.61i 126	. 2 |- (Base` U) = ran (+v` U)
17		bafval.1	. 2 |- X = (Base` U)
18		bafval.2	. . 3 |- G = (+v` U)
19	18	rneqi 3340	. 2 |- ran G = ran (+v` U)
20	16, 17, 19	3eqtr4 1505	1 |- X = ran G

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  (/)c0 2280  {copab 2666  ran crn 3171  ` cfv 3182  +vcpv 8204  Basecba 8205

This theorem is referenced by:  nvi 8233  nvvc 8234  nvgf 8237  nvsf 8238  nvgcl 8239  nvcom 8240  nvass 8241  nvadd23 8243  nvrcan 8244  nvlcan 8245  nvadd4 8246  nvscl 8247  nvsid 8248  nvsass 8249  nvdi 8251  nvdir 8252  nv2 8253  nvzcl 8255  nv0rid 8256  nv0lid 8257  nv0 8258  nvsz 8259  nvinv 8260  invfval 8261  nvmval 8263  nvmfval 8264  nvnnncan1 8268  nvnnncan2 8269  nvnegneg 8271  nvrinv 8273  nvlinv 8274  nvaddsubass 8278  nvaddsub 8279  nvdm 8289  nvmtri2 8300  cnnvba 8309  va1cnlem 8345  sm1cnilem 8347  ipid 8363  sspba 8386  isph 8481  phpar 8483  ip0i 8484  ipdirilem 8488  hhba 9034  hhssabl 9132  hhshsslem1 9137

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-ba 8215

Copyright terms: Public domain