Theorem bcclt 6930

Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer.

Assertion

Ref	Expression
bcclt	|- ((N e. NN0 /\ K e. ZZ) -> (N C. K) e. NN0)

Proof of Theorem bcclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccl2t 6929	. . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. (0...N)) -> (N C. K) e. NN)
2		simpll 412	. . . 4 |- (((N e. NN0 /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) -> N e. NN0)
3		fznn0t 6476	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN0 -> (K e. (0...N) <-> (K e. NN0 /\ K <_ N)))
4	3	biimprd 154	. . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> ((K e. NN0 /\ K <_ N) -> K e. (0...N)))
5	4	exp3a 375	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> (K e. NN0 -> (K <_ N -> K e. (0...N))))
6		elnn0z 6115	. . . . . . 7 |- (K e. NN0 <-> (K e. ZZ /\ 0 <_ K))
7	5, 6	syl5ibr 207	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> ((K e. ZZ /\ 0 <_ K) -> (K <_ N -> K e. (0...N))))
8	7	exp3a 375	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (K e. ZZ -> (0 <_ K -> (K <_ N -> K e. (0...N)))))
9	8	imp43 370	. . . 4 |- (((N e. NN0 /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) -> K e. (0...N))
10	1, 2, 9	sylanc 471	. . 3 |- (((N e. NN0 /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) -> (N C. K) e. NN)
11		nnnn0t 6074	. . 3 |- ((N C. K) e. NN -> (N C. K) e. NN0)
12	10, 11	syl 10	. 2 |- (((N e. NN0 /\ K e. ZZ) /\ (0 <_ K /\ K <_ N)) -> (N C. K) e. NN0)
13		bcvalt 6916	. . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. ZZ) -> (N C. K) = if((0 <_ K /\ K <_ N), ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))), 0))
14		iffalse 2365	. . . 4 |- (-. (0 <_ K /\ K <_ N) -> if((0 <_ K /\ K <_ N), ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))), 0) = 0)
15	13, 14	sylan9eq 1526	. . 3 |- (((N e. NN0 /\ K e. ZZ) /\ -. (0 <_ K /\ K <_ N)) -> (N C. K) = 0)
16		0nn0 6081	. . 3 |- 0 e. NN0
17	15, 16	syl6eqel 1555	. 2 |- (((N e. NN0 /\ K e. ZZ) /\ -. (0 <_ K /\ K <_ N)) -> (N C. K) e. NN0)
18	12, 17	pm2.61dan 477	1 |- ((N e. NN0 /\ K e. ZZ) -> (N C. K) e. NN0)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  ifcif 2359   class class class wbr 2617  ` cfv 3180  (class class class)co 3961  0cc0 5222   x. cmul 5227   - cmin 5280   / cdiv 5282   <_ cle 5283  NNcn 5284  NN0cn0 5285  ZZcz 5286  ...cfz 6427  !cfa 6889   C. cbc 6914

This theorem is referenced by:  binomlem1 7024  binomlem2 7025  binomlem4 7027  binomlem5 7028  bcxmas 7034  efaddlem5 7300

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2691  ax-sep 2701  ax-nul 2708  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-un 2864  ax-inf2 4613

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2502  df-int 2532  df-iun 2566  df-br 2618  df-opab 2665  df-tr 2679  df-eprel 2830  df-id 2833  df-po 2838  df-so 2848  df-fr 2915  df-we 2932  df-ord 2949  df-on 2950  df-lim 2951  df-suc 2952  df-om 3130  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fn 3191  df-f 3192  df-f1 3193  df-fo 3194  df-f1o 3195  df-fv 3196  df-rdg 3930  df-opr 3963  df-oprab 3964  df-1st 4077  df-2nd 4078  df-1o 4131  df-oadd 4133  df-omul 4134  df-er 4259  df-ec 4261  df-qs 4264  df-en 4365  df-dom 4366  df-sdom 4367  df-ni 4988  df-pli 4989  df-mi 4990  df-lti 4991  df-plpq 5023  df-mpq 5024  df-enq 5025  df-nq 5026  df-plq 5027  df-mq 5028  df-rq 5029  df-ltq 5030  df-1q 5031  df-np 5074  df-1p 5075  df-plp 5076  df-mp 5077  df-ltp 5078  df-plpr 5152  df-mpr 5153  df-enr 5154  df-nr 5155  df-plr 5156  df-mr 5157  df-ltr 5158  df-0r 5159  df-1r 5160  df-m1r 5161  df-c 5228  df-0 5229  df-1 5230  df-i 5231  df-r 5232  df-plus 5233  df-mul 5234  df-lt 5235  df-sub 5344  df-neg 5346  df-pnf 5475  df-mnf 5476  df-xr 5477  df-ltxr 5478  df-le 5479  df-div 5686  df-n 5893  df-n0 6068  df-z 6104  df-seq1 6272  df-fz 6428  df-fac 6890  df-bc 6915

Copyright terms: Public domain