HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem cj11OLD 7032
Description: Complex conjugate is a one-to-one function.
Assertion
Ref Expression
cj11OLD |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((*` A) = (*` B) <-> A = B))
Proof of Theorem cj11OLD
StepHypRef Expression
1 neg11 5563 . . . . 5 |- (((Im` A) e. CC /\ (Im` B) e. CC) -> (-u(Im` A) = -u(Im` B) <-> (Im` A) = (Im` B)))
2 imcl 6959 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
32recnd 5469 . . . . 5 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
4 imcl 6959 . . . . . 6 |- (B e. CC -> (Im` B) e. RR)
54recnd 5469 . . . . 5 |- (B e. CC -> (Im` B) e. CC)
61, 3, 5syl2an 456 . . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (-u(Im` A) = -u(Im` B) <-> (Im` A) = (Im` B)))
76anbi2d 619 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((Re` A) = (Re` B) /\ -u(Im` A) = -u(Im` B)) <-> ((Re` A) = (Re` B) /\ (Im` A) = (Im` B))))
8 cru 6939 . . . 4 |- ((((Re` A) e. RR /\ -u(Im` A) e. RR) /\ ((Re` B) e. RR /\ -u(Im` B) e. RR)) -> (((Re` A) + (i x. -u(Im` A))) = ((Re` B) + (i x. -u(Im` B))) <-> ((Re` A) = (Re` B) /\ -u(Im` A) = -u(Im` B))))
9 recl 6958 . . . . 5 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
10 renegcl 5591 . . . . . 6 |- ((Im` A) e. RR -> -u(Im` A) e. RR)
112, 10syl 10 . . . . 5 |- (A e. CC -> -u(Im` A) e. RR)
129, 11jca 286 . . . 4 |- (A e. CC -> ((Re` A) e. RR /\ -u(Im` A) e. RR))
13 recl 6958 . . . . 5 |- (B e. CC -> (Re` B) e. RR)
14 renegcl 5591 . . . . . 6 |- ((Im` B) e. RR -> -u(Im` B) e. RR)
154, 14syl 10 . . . . 5 |- (B e. CC -> -u(Im` B) e. RR)
1613, 15jca 286 . . . 4 |- (B e. CC -> ((Re` B) e. RR /\ -u(Im` B) e. RR))
178, 12, 16syl2an 456 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((Re` A) + (i x. -u(Im` A))) = ((Re` B) + (i x. -u(Im` B))) <-> ((Re` A) = (Re` B) /\ -u(Im` A) = -u(Im` B))))
18 cru 6939 . . . 4 |- ((((Re` A) e. RR /\ (Im` A) e. RR) /\ ((Re` B) e. RR /\ (Im` B) e. RR)) -> (((Re` A) + (i x. (Im` A))) = ((Re` B) + (i x. (Im` B))) <-> ((Re` A) = (Re` B) /\ (Im` A) = (Im` B))))
199, 2jca 286 . . . 4 |- (A e. CC -> ((Re` A) e. RR /\ (Im` A) e. RR))
2013, 4jca 286 . . . 4 |- (B e. CC -> ((Re` B) e. RR /\ (Im` B) e. RR))
2118, 19, 20syl2an 456 . . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((Re` A) + (i x. (Im` A))) = ((Re` B) + (i x. (Im` B))) <-> ((Re` A) = (Re` B) /\ (Im` A) = (Im` B))))
227, 17, 213bitr4d 553 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((Re` A) + (i x. -u(Im` A))) = ((Re` B) + (i x. -u(Im` B))) <-> ((Re` A) + (i x. (Im` A))) = ((Re` B) + (i x. (Im` B)))))
23 negsub 5536 . . . . 5 |- (((Re` A) e. CC /\ (i x. (Im` A)) e. CC) -> ((Re` A) + -u(i x. (Im` A))) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))
249recnd 5469 . . . . 5 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
25 axicn 5424 . . . . . . 7 |- i e. CC
26 mulcl 5457 . . . . . . 7 |- ((i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (i x. (Im` A)) e. CC)
2725, 26mpan 699 . . . . . 6 |- ((Im` A) e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
283, 27syl 10 . . . . 5 |- (A e. CC -> (i x. (Im` A)) e. CC)
2923, 24, 28sylanc 473 . . . 4 |- (A e. CC -> ((Re` A) + -u(i x. (Im` A))) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))
303, 25jctil 290 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (i e. CC /\ (Im` A) e. CC))
31 mulneg2 5606 . . . . . 6 |- ((i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (i x. -u(Im` A)) = -u(i x. (Im` A)))
3230, 31syl 10 . . . . 5 |- (A e. CC -> (i x. -u(Im` A)) = -u(i x. (Im` A)))
3332opreq2d 4034 . . . 4 |- (A e. CC -> ((Re` A) + (i x. -u(Im` A))) = ((Re` A) + -u(i x. (Im` A))))
34 cjval 6964 . . . 4 |- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))
3529, 33, 343eqtr4rd 1561 . . 3 |- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) + (i x. -u(Im` A))))
36 negsub 5536 . . . . 5 |- (((Re` B) e. CC /\ (i x. (Im` B)) e. CC) -> ((Re` B) + -u(i x. (Im` B))) = ((Re` B) - (i x. (Im` B))))
3713recnd 5469 . . . . 5 |- (B e. CC -> (Re` B) e. CC)
38 mulcl 5457 . . . . . . 7 |- ((i e. CC /\ (Im` B) e. CC) -> (i x. (Im` B)) e. CC)
3925, 38mpan 699 . . . . . 6 |- ((Im` B) e. CC -> (i x. (Im` B)) e. CC)
405, 39syl 10 . . . . 5 |- (B e. CC -> (i x. (Im` B)) e. CC)
4136, 37, 40sylanc 473 . . . 4 |- (B e. CC -> ((Re` B) + -u(i x. (Im` B))) = ((Re` B) - (i x. (Im` B))))
425, 25jctil 290 . . . . . 6 |- (B e. CC -> (i e. CC /\ (Im` B) e. CC))
43 mulneg2 5606 . . . . . 6 |- ((i e. CC /\ (Im` B) e. CC) -> (i x. -u(Im` B)) = -u(i x. (Im` B)))
4442, 43syl 10 . . . . 5 |- (B e. CC -> (i x. -u(Im` B)) = -u(i x. (Im` B)))
4544opreq2d 4034 . . . 4 |- (B e. CC -> ((Re` B) + (i x. -u(Im` B))) = ((Re` B) + -u(i x. (Im` B))))
46 cjval 6964 . . . 4 |- (B e. CC -> (*` B) = ((Re` B) - (i x. (Im` B))))
4741, 45, 463eqtr4rd 1561 . . 3 |- (B e. CC -> (*` B) = ((Re` B) + (i x. -u(Im` B))))
4835, 47eqeqan12d 1533 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((*` A) = (*` B) <-> ((Re` A) + (i x. -u(Im` A))) = ((Re` B) + (i x. -u(Im` B)))))
49 replim 6962 . . 3 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (i x. (Im` A))))
50 replim 6962 . . 3 |- (B e. CC -> B = ((Re` B) + (i x. (Im` B))))
5149, 50eqeqan12d 1533 . 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A = B <-> ((Re` A) + (i x. (Im` A))) = ((Re` B) + (i x. (Im` B)))))
5222, 48, 513bitr4d 553 1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((*` A) = (*` B) <-> A = B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  ici 5390   + caddc 5391   x. cmul 5393   - cmin 5446  -ucneg 5447  Recre 6948  Imcim 6949  *ccj 6950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770
This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-re 6952  df-im 6953  df-cj 6954
Copyright terms: Public domain