Theorem cjvalt 6763

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132.

Assertion

Ref	Expression
cjvalt	|- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))

Proof of Theorem cjvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3724	. . 3 |- (x = A -> (Re` x) = (Re` A))
2		fveq2 3724	. . . 4 |- (x = A -> (Im` x) = (Im` A))
3	2	opreq2d 3976	. . 3 |- (x = A -> (i x. (Im` x)) = (i x. (Im` A)))
4	1, 3	opreq12d 3978	. 2 |- (x = A -> ((Re` x) - (i x. (Im` x))) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))
5		df-cj 6753	. 2 |- * = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = ((Re` x) - (i x. (Im` x))))}
6		oprex 3983	. 2 |- ((Re` A) - (i x. (Im` A))) e. V
7	4, 5, 6	fvopab4 3780	1 |- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - (i x. (Im` A))))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  ici 5236   x. cmul 5239   - cmin 5292  Recre 6747  Imcim 6748  *ccj 6749

This theorem is referenced by:  cjclt 6764  cjcj 6778  cjreb 6781  recj 6782  imcj 6783  cjadd 6788  cjmul 6789  cjneg 6797  addcj 6798  recjt 6818  imcjt 6819  cji 6827  cj11t 6830  cjcncf 7278

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-cj 6753

Copyright terms: Public domain