Theorem cnlnadjlem4 9988

Description: Lemma for cnlnadj 9994. The values of auxiliary function F are vectors.

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	|- T e. LinOp
cnlnadjlem.2	|- T e. ConOp
cnlnadjlem.3	|- G = {<.g, h>. | (g e. H~ /\ h = ((T` g) .ih y))}
cnlnadjlem.4	|- B = U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w)}
cnlnadjlem.5	|- F = {<.y, u>. | (y e. H~ /\ u = B)}

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem4	|- (A e. H~ -> (F` A) e. H~)

Distinct variable groups:   g,h,u,v,w,y,A   u,B   w,F   v,G,w   T,g,h,u,v,w,y

Proof of Theorem cnlnadjlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3969	. . . . . . . 8 |- (y = A -> ((T` v) .ih y) = ((T` v) .ih A))
2	1	eqeq1d 1483	. . . . . . 7 |- (y = A -> (((T` v) .ih y) = (v .ih w) <-> ((T` v) .ih A) = (v .ih w)))
3	2	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- (y = A -> (A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w) <-> A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)))
4	3	rabbisdv 1807	. . . . 5 |- (y = A -> {w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w)} = {w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)})
5	4	unieqd 2512	. . . 4 |- (y = A -> U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w)} = U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)})
6		cnlnadjlem.4	. . . 4 |- B = U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w)}
7	5, 6	syl5eq 1519	. . 3 |- (y = A -> B = U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)})
8		cnlnadjlem.5	. . 3 |- F = {<.y, u>. | (y e. H~ /\ u = B)}
9		ax-hilex 8854	. . . . 5 |- H~ e. V
10	9	rabex 2725	. . . 4 |- {w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)} e. V
11	10	uniex 2870	. . 3 |- U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)} e. V
12	7, 8, 11	fvopab4 3780	. 2 |- (A e. H~ -> (F` A) = U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)})
13	3	reubidv 1780	. . . 4 |- (y = A -> (E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w) <-> E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)))
14		cnlnadjlem.1	. . . . . . . 8 |- T e. LinOp
15		cnlnadjlem.2	. . . . . . . 8 |- T e. ConOp
16		cnlnadjlem.3	. . . . . . . 8 |- G = {<.g, h>. | (g e. H~ /\ h = ((T` g) .ih y))}
17	14, 15, 16	cnlnadjlem2 9986	. . . . . . 7 |- (y e. H~ -> (G e. LinFn /\ G e. ConFn))
18		elin 2207	. . . . . . 7 |- (G e. (LinFn i^i ConFn) <-> (G e. LinFn /\ G e. ConFn))
19	17, 18	sylibr 200	. . . . . 6 |- (y e. H~ -> G e. (LinFn i^i ConFn))
20		riesz4t 9982	. . . . . 6 |- (G e. (LinFn i^i ConFn) -> E!w e. H~ A.v e. H~ (G` v) = (v .ih w))
21	19, 20	syl 10	. . . . 5 |- (y e. H~ -> E!w e. H~ A.v e. H~ (G` v) = (v .ih w))
22	14, 15, 16	cnlnadjlem1 9985	. . . . . . . 8 |- (v e. H~ -> (G` v) = ((T` v) .ih y))
23	22	eqeq1d 1483	. . . . . . 7 |- (v e. H~ -> ((G` v) = (v .ih w) <-> ((T` v) .ih y) = (v .ih w)))
24	23	ralbiia 1673	. . . . . 6 |- (A.v e. H~ (G` v) = (v .ih w) <-> A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w))
25	24	reubii 1782	. . . . 5 |- (E!w e. H~ A.v e. H~ (G` v) = (v .ih w) <-> E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w))
26	21, 25	sylib 198	. . . 4 |- (y e. H~ -> E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih y) = (v .ih w))
27	13, 26	vtoclga 1852	. . 3 |- (A e. H~ -> E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w))
28		reucl 2885	. . 3 |- (E!w e. H~ A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w) -> U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)} e. H~)
29	27, 28	syl 10	. 2 |- (A e. H~ -> U.{w e. H~ | A.v e. H~ ((T` v) .ih A) = (v .ih w)} e. H~)
30	12, 29	eqeltrd 1548	1 |- (A e. H~ -> (F` A) e. H~)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E!wreu 1647  {crab 1648   i^i cin 2046  U.cuni 2503  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  H~chil 8773   .ih csp 8778  ConOpcco 8800  LinOpclo 8801  ConFnccnf 8807  LinFnclf 8808

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem6 9990  cnlnadjlem7 9991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4585  ax-inf2 4617  ax-ac 4736  ax-hilex 8854  ax-hfvadd 8855  ax-hvcom 8856  ax-hvass 8857  ax-hv0cl 8858  ax-hvaddid 8859  ax-hfvmul 8860  ax-hvmulid 8861  ax-hvmulass 8862  ax-hvdistr1 8863  ax-hvdistr2 8864  ax-hvmul0 8865  ax-hfi 8931  ax-his1 8934  ax-his2 8935  ax-his3 8936  ax-his4 8937  ax-hcompl 9056

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4566  df-r1 4635  df-rank 4636  df-ni 4992  df-pli 4993  df-mi 4994  df-lti 4995  df-plpq 5027  df-mpq 5028  df-enq 5029  df-nq 5030  df-plq 5031  df-mq 5032  df-rq 5033  df-ltq 5034  df-1q 5035  df-np 5078  df-1p 5079  df-plp 5080  df-mp 5081  df-ltp 5082  df-plpr 5156  df-mpr 5157  df-enr 5158  df-nr 5159  df-plr 5160  df-mr 5161  df-ltr 5162  df-0r 5163  df-1r 5164  df-m1r 5165  df-c 5232  df-0 5233  df-1 5234  df-i 5235  df-r 5236  df-plus 5237  df-mul 5238  df-lt 5239  df-sub 5348  df-neg 5350  df-pnf 5479  df-mnf 5480  df-xr 5481  df-ltxr 5482  df-le 5483  df-div 5691  df-n 5913  df-2 5958  df-3 5959  df-4 5960  df-n0 6088  df-z 6124  df-fl 6212  df-q 6242  df-seq1 6294  df-shft 6327  df-ioo 6347  df-uz 6404  df-fz 6454  df-seqz 6519  df-exp 6555  df-sqr 6656  df-re 6737  df-im 6738  df-cj 6739  df-abs 6740  df-clim 6960  df-sum 6965  df-top 7577  df-bases 7579  df-topgen 7580  df-cld 7648  df-ntr 7649  df-cls 7650  df-cn 7739  df-cnp 7740  df-haus 7767  df-met 7778  df-bl 7780  df-opn 7781  df-lm 7907  df-grp 8022  df-gid 8023  df-ginv 8024  df-gdiv 8025  df-abl 8085  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-vs 8203  df-nm 8204  df-ims 8205  df-ip 8335  df-ph 8457  df-hnorm 8822  df-hvsub 8825  df-hlim 8826  df-hcau 8827  df-sh 9061  df-ch 9077  df-oc 9109  df-ch0 9110  df-nmop 9750  df-cnop 9751  df-lnop 9752  df-nmfn 9756  df-nlfn 9757  df-cnfn 9758  df-lnfn 9759

Copyright terms: Public domain