Theorem comptoppr 11495

Description: Compactness is a topological property-that is, for any two homeomorphic topologies, either both are compact or neither is.

Assertion

Ref	Expression
comptoppr	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ J ~= K) -> (J e. Comp <-> K e. Comp))

Proof of Theorem comptoppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmph 11030	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J ~= K <-> E.f f e. (J Homeo K)))
2		visset 1859	. . . . . 6 |- f e. V
3		eqid 1518	. . . . . . 7 |- U.J = U.J
4		eqid 1518	. . . . . . 7 |- U.K = U.K
5	3, 4	hmeobc 11048	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ f e. V) -> (f e. (J Homeo K) <-> (f:U.J-1-1-onto->U.K /\ f e. (J Cn K) /\ `'f e. (K Cn J))))
6	2, 5	mp3an3 911	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (f e. (J Homeo K) <-> (f:U.J-1-1-onto->U.K /\ f e. (J Cn K) /\ `'f e. (K Cn J))))
7	3, 4	cncomp 11494	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Comp /\ K e. Top) /\ (f:U.J-onto->U.K /\ f e. (J Cn K))) -> K e. Comp)
8	7	exp43 384	. . . . . . . . . . . 12 |- (J e. Comp -> (K e. Top -> (f:U.J-onto->U.K -> (f e. (J Cn K) -> K e. Comp))))
9	8	com4l 39	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. Top -> (f:U.J-onto->U.K -> (f e. (J Cn K) -> (J e. Comp -> K e. Comp))))
10		f1ofo 3803	. . . . . . . . . . 11 |- (f:U.J-1-1-onto->U.K -> f:U.J-onto->U.K)
11	9, 10	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- (K e. Top -> (f:U.J-1-1-onto->U.K -> (f e. (J Cn K) -> (J e. Comp -> K e. Comp))))
12	11	imp32 361	. . . . . . . . 9 |- ((K e. Top /\ (f:U.J-1-1-onto->U.K /\ f e. (J Cn K))) -> (J e. Comp -> K e. Comp))
13	12	adantll 392	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (f:U.J-1-1-onto->U.K /\ f e. (J Cn K))) -> (J e. Comp -> K e. Comp))
14	13	3adantr3 814	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (f:U.J-1-1-onto->U.K /\ f e. (J Cn K) /\ `'f e. (K Cn J))) -> (J e. Comp -> K e. Comp))
15	4, 3	cncomp 11494	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((K e. Comp /\ J e. Top) /\ (`'f:U.K-onto->U.J /\ `'f e. (K Cn J))) -> J e. Comp)
16	15	exp43 384	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. Comp -> (J e. Top -> (`'f:U.K-onto->U.J -> (`'f e. (K Cn J) -> J e. Comp))))
17	16	com4l 39	. . . . . . . . . . 11 |- (J e. Top -> (`'f:U.K-onto->U.J -> (`'f e. (K Cn J) -> (K e. Comp -> J e. Comp))))
18		f1ocnv 3809	. . . . . . . . . . . 12 |- (f:U.J-1-1-onto->U.K -> `'f:U.K-1-1-onto->U.J)
19		f1ofo 3803	. . . . . . . . . . . 12 |- (`'f:U.K-1-1-onto->U.J -> `'f:U.K-onto->U.J)
20	18, 19	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (f:U.J-1-1-onto->U.K -> `'f:U.K-onto->U.J)
21	17, 20	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> (f:U.J-1-1-onto->U.K -> (`'f e. (K Cn J) -> (K e. Comp -> J e. Comp))))
22	21	imp32 361	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ (f:U.J-1-1-onto->U.K /\ `'f e. (K Cn J))) -> (K e. Comp -> J e. Comp))
23	22	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (f:U.J-1-1-onto->U.K /\ `'f e. (K Cn J))) -> (K e. Comp -> J e. Comp))
24	23	3adantr2 813	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (f:U.J-1-1-onto->U.K /\ f e. (J Cn K) /\ `'f e. (K Cn J))) -> (K e. Comp -> J e. Comp))
25	14, 24	impbid 519	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (f:U.J-1-1-onto->U.K /\ f e. (J Cn K) /\ `'f e. (K Cn J))) -> (J e. Comp <-> K e. Comp))
26	25	ex 371	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((f:U.J-1-1-onto->U.K /\ f e. (J Cn K) /\ `'f e. (K Cn J)) -> (J e. Comp <-> K e. Comp)))
27	6, 26	sylbid 201	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (f e. (J Homeo K) -> (J e. Comp <-> K e. Comp)))
28	27	19.23adv 1251	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (E.f f e. (J Homeo K) -> (J e. Comp <-> K e. Comp)))
29	1, 28	sylbid 201	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J ~= K -> (J e. Comp <-> K e. Comp)))
30	29	3impia 836	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ J ~= K) -> (J e. Comp <-> K e. Comp))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781   e. wcel 994  E.wex 1016  Vcvv 1857  U.cuni 2569   class class class wbr 2692  `'ccnv 3250  -onto->wfo 3261  -1-1-onto->wf1o 3262  (class class class)co 4021  Topctop 7800   Cn ccn 7962   Homeo chomeosm 11019   ~= chomeo 11020  Compccomp 11112

This theorem is referenced by:  reheibor 12081

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1o 4269  df-er 4401  df-map 4465  df-en 4509  df-dom 4510  df-fin 4512  df-cn 7964  df-homeo 11021  df-hmph 11029  df-comp 11113

Copyright terms: Public domain