Theorem dff3 3834

Description: Alternate definition of a mapping.

Assertion

Ref	Expression
dff3	|- (F:A-->B <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B xFy))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,F,y

Proof of Theorem dff3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff2 3833	. 2 |- (F:A-->B <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y xFy))
2		ssel 2074	. . . . . . . . 9 |- (F (_ (A X. B) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. (A X. B)))
3		visset 1820	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
4	3	opelxp 3230	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. e. (A X. B) <-> (x e. A /\ y e. B))
5	4	pm3.27bi 326	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. (A X. B) -> y e. B)
6	2, 5	syl6 22	. . . . . . . 8 |- (F (_ (A X. B) -> (<.x, y>. e. F -> y e. B))
7		df-br 2635	. . . . . . . 8 |- (xFy <-> <.x, y>. e. F)
8	6, 7	syl5ib 206	. . . . . . 7 |- (F (_ (A X. B) -> (xFy -> y e. B))
9	8	pm4.71rd 642	. . . . . 6 |- (F (_ (A X. B) -> (xFy <-> (y e. B /\ xFy)))
10	9	eubidv 1390	. . . . 5 |- (F (_ (A X. B) -> (E!y xFy <-> E!y(y e. B /\ xFy)))
11		df-reu 1658	. . . . 5 |- (E!y e. B xFy <-> E!y(y e. B /\ xFy))
12	10, 11	syl6bbr 541	. . . 4 |- (F (_ (A X. B) -> (E!y xFy <-> E!y e. B xFy))
13	12	ralbidv 1670	. . 3 |- (F (_ (A X. B) -> (A.x e. A E!y xFy <-> A.x e. A E!y e. B xFy))
14	13	pm5.32i 648	. 2 |- ((F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y xFy) <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B xFy))
15	1, 14	bitri 173	1 |- (F:A-->B <-> (F (_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B xFy))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 962  E!weu 1384  A.wral 1652  E!wreu 1654   (_ wss 2058  <.cop 2423   class class class wbr 2634   X. cxp 3184  -->wf 3194

This theorem is referenced by:  exfo 3838

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-sep 2718  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-v 1819  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-nul 2292  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-op 2428  df-uni 2518  df-br 2635  df-opab 2682  df-id 2851  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-fv 3214

Copyright terms: Public domain