Theorem dfn2 6100

Description: The set of natural numbers (positive integers) defined in terms of nonnegative integers.

Assertion

Ref	Expression
dfn2	|- NN = (NN0 \ {0})

Proof of Theorem dfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0t 6094	. . . . 5 |- (x e. NN -> x e. NN0)
2		nnne0t 5937	. . . . 5 |- (x e. NN -> x =/= 0)
3	1, 2	jca 288	. . . 4 |- (x e. NN -> (x e. NN0 /\ x =/= 0))
4		elnn0 6089	. . . . . . . 8 |- (x e. NN0 <-> (x e. NN \/ x = 0))
5	4	biimp 151	. . . . . . 7 |- (x e. NN0 -> (x e. NN \/ x = 0))
6	5	ord 232	. . . . . 6 |- (x e. NN0 -> (-. x e. NN -> x = 0))
7	6	necon1ad 1631	. . . . 5 |- (x e. NN0 -> (x =/= 0 -> x e. NN))
8	7	imp 350	. . . 4 |- ((x e. NN0 /\ x =/= 0) -> x e. NN)
9	3, 8	impbi 157	. . 3 |- (x e. NN <-> (x e. NN0 /\ x =/= 0))
10		eldifsn 2462	. . 3 |- (x e. (NN0 \ {0}) <-> (x e. NN0 /\ x =/= 0))
11	9, 10	bitr4 176	. 2 |- (x e. NN <-> x e. (NN0 \ {0}))
12	11	eqriv 1474	1 |- NN = (NN0 \ {0})

Syntax hints:   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   \ cdif 2044  {csn 2409  0cc0 5226  NNcn 5288  NN0cn0 5289

This theorem is referenced by:  facnnt 6918  fac0 6919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4617

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 4992  df-pli 4993  df-mi 4994  df-lti 4995  df-plpq 5027  df-mpq 5028  df-enq 5029  df-nq 5030  df-plq 5031  df-mq 5032  df-rq 5033  df-ltq 5034  df-1q 5035  df-np 5078  df-1p 5079  df-plp 5080  df-mp 5081  df-ltp 5082  df-plpr 5156  df-mpr 5157  df-enr 5158  df-nr 5159  df-plr 5160  df-mr 5161  df-ltr 5162  df-0r 5163  df-1r 5164  df-m1r 5165  df-c 5232  df-0 5233  df-1 5234  df-i 5235  df-r 5236  df-plus 5237  df-mul 5238  df-lt 5239  df-sub 5348  df-neg 5350  df-pnf 5479  df-mnf 5480  df-xr 5481  df-ltxr 5482  df-le 5483  df-n 5913  df-n0 6088

Copyright terms: Public domain