Theorem distrpi 5046

Description: Multiplication of positive integers is distributive.

Hypotheses

Ref	Expression
distrpi.1	|- B e. V
distrpi.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
distrpi	|- (A .N (B +N C)) = ((A .N B) +N (A .N C))

Proof of Theorem distrpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndi 4254	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A .o (B +o C)) = ((A .o B) +o (A .o C)))
2		pinn 5026	. . . 4 |- (A e. N. -> A e. om)
3		pinn 5026	. . . 4 |- (B e. N. -> B e. om)
4		pinn 5026	. . . 4 |- (C e. N. -> C e. om)
5	1, 2, 3, 4	syl3an 872	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A .o (B +o C)) = ((A .o B) +o (A .o C)))
6		mulpiord 5033	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ (B +N C) e. N.) -> (A .N (B +N C)) = (A .o (B +N C)))
7		addclpi 5040	. . . . . 6 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (B +N C) e. N.)
8	6, 7	sylan2 454	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A .N (B +N C)) = (A .o (B +N C)))
9		addpiord 5032	. . . . . . 7 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (B +N C) = (B +o C))
10	9	opreq2d 3992	. . . . . 6 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (A .o (B +N C)) = (A .o (B +o C)))
11	10	adantl 390	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A .o (B +N C)) = (A .o (B +o C)))
12	8, 11	eqtrd 1514	. . . 4 |- ((A e. N. /\ (B e. N. /\ C e. N.)) -> (A .N (B +N C)) = (A .o (B +o C)))
13	12	3impb 833	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A .N (B +N C)) = (A .o (B +o C)))
14		addpiord 5032	. . . . . 6 |- (((A .N B) e. N. /\ (A .N C) e. N.) -> ((A .N B) +N (A .N C)) = ((A .N B) +o (A .N C)))
15		mulclpi 5041	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)
16		mulclpi 5041	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> (A .N C) e. N.)
17	14, 15, 16	syl2an 457	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> ((A .N B) +N (A .N C)) = ((A .N B) +o (A .N C)))
18		mulpiord 5033	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
19		mulpiord 5033	. . . . . 6 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> (A .N C) = (A .o C))
20	18, 19	opreqan12d 3995	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> ((A .N B) +o (A .N C)) = ((A .o B) +o (A .o C)))
21	17, 20	eqtrd 1514	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A e. N. /\ C e. N.)) -> ((A .N B) +N (A .N C)) = ((A .o B) +o (A .o C)))
22	21	3impdi 884	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> ((A .N B) +N (A .N C)) = ((A .o B) +o (A .o C)))
23	5, 13, 22	3eqtr4d 1524	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A .N (B +N C)) = ((A .N B) +N (A .N C)))
24		distrpi.1	. . 3 |- B e. V
25		dmaddpi 5038	. . 3 |- dom +N = (N. X. N.)
26		distrpi.2	. . 3 |- C e. V
27		0npi 5030	. . 3 |- -. (/) e. N.
28		dmmulpi 5039	. . 3 |- dom .N = (N. X. N.)
29	24, 25, 26, 27, 28	ndmoprdistr 4065	. 2 |- (-. (A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A .N (B +N C)) = ((A .N B) +N (A .N C)))
30	23, 29	pm2.61i 126	1 |- (A .N (B +N C)) = ((A .N B) +N (A .N C))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 779   = wceq 960   e. wcel 962  Vcvv 1818  omcom 3147  (class class class)co 3979   +o coa 4146   .o comu 4147  N.cnpi 4992   +N cpli 4993   .N cmi 4994

This theorem is referenced by:  addcmpblnq 5072  addasspq 5083  distrpq 5087  ltapq 5096  ltexpq 5100  halfpq 5102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1127  ax-10o 1144  ax-16 1214  ax-11o 1222  ax-ext 1464  ax-rep 2708  ax-sep 2718  ax-nul 2725  ax-pow 2758  ax-pr 2795  ax-un 2882

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1176  df-eu 1386  df-mo 1387  df-clab 1470  df-cleq 1475  df-clel 1478  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2012  df-dif 2060  df-un 2061  df-in 2062  df-ss 2064  df-nul 2292  df-if 2374  df-pw 2414  df-sn 2424  df-pr 2425  df-tp 2427  df-op 2428  df-uni 2518  df-int 2548  df-iun 2582  df-br 2635  df-opab 2682  df-tr 2696  df-eprel 2848  df-id 2851  df-po 2856  df-so 2866  df-fr 2933  df-we 2950  df-ord 2967  df-on 2968  df-lim 2969  df-suc 2970  df-om 3148  df-xp 3200  df-rel 3201  df-cnv 3202  df-co 3203  df-dm 3204  df-rn 3205  df-res 3206  df-ima 3207  df-fun 3208  df-fn 3209  df-f 3210  df-fv 3214  df-rdg 3948  df-opr 3981  df-oprab 3982  df-1st 4095  df-2nd 4096  df-1o 4149  df-oadd 4151  df-omul 4152  df-ni 5020  df-pli 5021  df-mi 5022

Copyright terms: Public domain