Theorem dmrnssfld 3357

Description: The domain and range of a class are included in its double union.

Assertion

Ref	Expression
dmrnssfld	|- (dom A u. ran A) (_ U.U.A

Proof of Theorem dmrnssfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
2	1	eldm2 3308	. . . 4 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
3	1	pri1 2450	. . . . . 6 |- x e. {x, y}
4		uniopel 2809	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. A -> U.<.x, y>. e. U.A)
5		uniop 2808	. . . . . . . . 9 |- U.<.x, y>. = {x, y}
6	4, 5	syl5eqelr 1553	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. A -> {x, y} e. U.A)
7		elssuni 2526	. . . . . . . 8 |- ({x, y} e. U.A -> {x, y} (_ U.U.A)
8	6, 7	syl 10	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. A -> {x, y} (_ U.U.A)
9	8	sseld 2067	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> (x e. {x, y} -> x e. U.U.A))
10	3, 9	mpi 44	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> x e. U.U.A)
11	10	19.23aiv 1295	. . . 4 |- (E.y<.x, y>. e. A -> x e. U.U.A)
12	2, 11	sylbi 199	. . 3 |- (x e. dom A -> x e. U.U.A)
13	12	ssriv 2069	. 2 |- dom A (_ U.U.A
14		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
15	14	elrn2 3349	. . . 4 |- (y e. ran A <-> E.x<.x, y>. e. A)
16	14	pri2 2451	. . . . . 6 |- y e. {x, y}
17	8	sseld 2067	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> (y e. {x, y} -> y e. U.U.A))
18	16, 17	mpi 44	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. A -> y e. U.U.A)
19	18	19.23aiv 1295	. . . 4 |- (E.x<.x, y>. e. A -> y e. U.U.A)
20	15, 19	sylbi 199	. . 3 |- (y e. ran A -> y e. U.U.A)
21	20	ssriv 2069	. 2 |- ran A (_ U.U.A
22	13, 21	unssi 2205	1 |- (dom A u. ran A) (_ U.U.A

Syntax hints:   e. wcel 958  E.wex 980   u. cun 2045   (_ wss 2047  {cpr 2410  <.cop 2411  U.cuni 2503  dom cdm 3170  ran crn 3171

This theorem is referenced by:  dmexg 3358  rnexg 3359  asymref 3439  asymref2 3440  relfld 3515  psdmrn 8648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189

Copyright terms: Public domain