Theorem dmxpid 3340

Description: The domain of a square cross product.

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	|- dom ( A X. A) = A

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 3330	. . 3 |- dom (/) = (/)
2		xpeq1 3207	. . . . 5 |- (A = (/) -> (A X. A) = ((/) X. A))
3		xp0r 3246	. . . . 5 |- ((/) X. A) = (/)
4	2, 3	syl6eq 1526	. . . 4 |- (A = (/) -> (A X. A) = (/))
5	4	dmeqd 3320	. . 3 |- (A = (/) -> dom ( A X. A) = dom (/))
6		id 59	. . 3 |- (A = (/) -> A = (/))
7	1, 5, 6	3eqtr4a 1535	. 2 |- (A = (/) -> dom ( A X. A) = A)
8		dmxp 3339	. 2 |- (A =/= (/) -> dom ( A X. A) = A)
9	7, 8	pm2.61ine 1637	1 |- dom ( A X. A) = A

Syntax hints:   = wceq 958  (/)c0 2284   X. cxp 3175  dom cdm 3177

This theorem is referenced by:  dmxpin 3341  xpid11 3342  ecopoprdm 4316  ismet 7802  dfms2 7803  ismeti 7806  metreslem 7826  cnmetba 7907  cncfmet 7909  remetba 7913  xplmi 7977  xplmi2 7978  xplm 7979  xpcn 7980  oprcn 7981  bopcnlem3 7987  bopcn 7989  grprndm 8058  vcoprne 8201  imsba 8324  dfhnorm2 8990  hhshsslem1 9139  dmhmph 10526  reldded 10653  reldcat 10674

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-pow 2749  ax-pr 2786

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-v 1815  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-br 2626  df-opab 2673  df-xp 3191  df-dm 3195

Copyright terms: Public domain