Theorem ecoprcom 4319

Description: Lemma used to transfer a commutative law via an equivalence relation.

Hypotheses

Ref	Expression
ecoprcom.1	|- C = ((S X. S)/.R)
ecoprcom.2	|- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = [<.D, G>.]R)
ecoprcom.3	|- (((z e. S /\ w e. S) /\ (x e. S /\ y e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
ecoprcom.4	|- D = H
ecoprcom.5	|- G = J

Assertion

Ref	Expression
ecoprcom	|- ((A e. C /\ B e. C) -> (AFB) = (BFA))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,F,y,z,w   x,R,y,z,w   x,S,y,z,w   z,C,w

Proof of Theorem ecoprcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecoprcom.1	. 2 |- C = ((S X. S)/.R)
2		opreq1 3968	. . 3 |- ([<.x, y>.]R = A -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = (AF[<.z, w>.]R))
3		opreq2 3969	. . 3 |- ([<.x, y>.]R = A -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = ([<.z, w>.]RFA))
4	2, 3	eqeq12d 1489	. 2 |- ([<.x, y>.]R = A -> (([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) <-> (AF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RFA)))
5		opreq2 3969	. . 3 |- ([<.z, w>.]R = B -> (AF[<.z, w>.]R) = (AFB))
6		opreq1 3968	. . 3 |- ([<.z, w>.]R = B -> ([<.z, w>.]RFA) = (BFA))
7	5, 6	eqeq12d 1489	. 2 |- ([<.z, w>.]R = B -> ((AF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RFA) <-> (AFB) = (BFA)))
8		ecoprcom.4	. . . 4 |- D = H
9		ecoprcom.5	. . . 4 |- G = J
10		opeq12 2489	. . . . 5 |- ((D = H /\ G = J) -> <.D, G>. = <.H, J>.)
11		eceq2 4278	. . . . 5 |- (<.D, G>. = <.H, J>. -> [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R)
12	10, 11	syl 10	. . . 4 |- ((D = H /\ G = J) -> [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R)
13	8, 9, 12	mp2an 697	. . 3 |- [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R
14		ecoprcom.2	. . 3 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = [<.D, G>.]R)
15		ecoprcom.3	. . . 4 |- (((z e. S /\ w e. S) /\ (x e. S /\ y e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
16	15	ancoms 436	. . 3 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
17	13, 14, 16	3eqtr4a 1532	. 2 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R))
18	1, 4, 7, 17	2ecoptocl 4304	1 |- ((A e. C /\ B e. C) -> (AFB) = (BFA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   X. cxp 3168  (class class class)co 3963  [cec 4259  /.cqs 4260

This theorem is referenced by:  addcompq 5062  mulcompq 5064  addcomsr 5196  mulcomsr 5198  axaddcom 5275  axmulcom 5276

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965  df-ec 4263  df-qs 4266

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