Theorem ef4p 7399

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
ef4p.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
ef4p.2	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
ef4p	|- (exp` A) = ((((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   k,F

Proof of Theorem ef4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef4p.1	. 2 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
2		ef4p.2	. 2 |- A e. CC
3		3nn 6000	. . 3 |- 3 e. NN
4	3	nnnn0 6107	. 2 |- 3 e. NN0
5		ax1cn 5269	. . . 4 |- 1 e. CC
6	5, 2	addcl 5320	. . 3 |- (1 + A) e. CC
7	2	sqcl 6615	. . . 4 |- (A^2) e. CC
8		2cn 5980	. . . 4 |- 2 e. CC
9		2ne0 5990	. . . 4 |- 2 =/= 0
10	7, 8, 9	divcl 5710	. . 3 |- ((A^2) / 2) e. CC
11	6, 10	addcl 5320	. 2 |- ((1 + A) + ((A^2) / 2)) e. CC
12		2nn0 6115	. . 3 |- 2 e. NN0
13		1nn0 6114	. . . 4 |- 1 e. NN0
14		0nn0 6113	. . . . 5 |- 0 e. NN0
15		0cn 5328	. . . . 5 |- 0 e. CC
16		efvalt 7308	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (exp` A) = sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k)))
17	2, 16	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (exp` A) = sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k))
18	1	eftval 7316	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
19	18	sumeq2i 6988	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k))
20		nn0uz 6438	. . . . . . . 8 |- NN0 = (ZZ>` 0)
21	20	sumeq1i 6987	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k)
22	17, 19, 21	3eqtr2 1501	. . . . . 6 |- (exp` A) = sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k)
23		efclt 7312	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (exp` A) e. CC)
24	2, 23	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (exp` A) e. CC
25	22, 24	eqeltrr 1545	. . . . . . 7 |- sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC
26	25	addid2 5331	. . . . . 6 |- (0 + sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k)
27	22, 26	eqtr4 1498	. . . . 5 |- (exp` A) = (0 + sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k))
28	1, 2	eft0val 7398	. . . . 5 |- (F` 0) = 1
29	5	addid2 5331	. . . . . 6 |- (0 + 1) = 1
30	29	eqcomi 1479	. . . . 5 |- 1 = (0 + 1)
31	1, 2, 14, 15, 27, 28, 30, 30	efsep 7396	. . . 4 |- (exp` A) = (1 + sum_k e. (ZZ>` 1)(F` k))
32	1	eftval 7316	. . . . . 6 |- (1 e. NN0 -> (F` 1) = ((A^1) / (!` 1)))
33	13, 32	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F` 1) = ((A^1) / (!` 1))
34		exp1t 6573	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (A^1) = A)
35	2, 34	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A^1) = A
36		fac1 6935	. . . . . 6 |- (!` 1) = 1
37	35, 36	opreq12i 3973	. . . . 5 |- ((A^1) / (!` 1)) = (A / 1)
38	2	div1 5772	. . . . 5 |- (A / 1) = A
39	33, 37, 38	3eqtr 1499	. . . 4 |- (F` 1) = A
40		df-2 5970	. . . 4 |- 2 = (1 + 1)
41		eqid 1475	. . . 4 |- (1 + A) = (1 + A)
42	1, 2, 13, 5, 31, 39, 40, 41	efsep 7396	. . 3 |- (exp` A) = ((1 + A) + sum_k e. (ZZ>` 2)(F` k))
43	1	eftval 7316	. . . . 5 |- (2 e. NN0 -> (F` 2) = ((A^2) / (!` 2)))
44	12, 43	ax-mp 7	. . . 4 |- (F` 2) = ((A^2) / (!` 2))
45		fac2 6937	. . . . 5 |- (!` 2) = 2
46	45	opreq2i 3972	. . . 4 |- ((A^2) / (!` 2)) = ((A^2) / 2)
47	44, 46	eqtr 1495	. . 3 |- (F` 2) = ((A^2) / 2)
48		df-3 5971	. . 3 |- 3 = (2 + 1)
49		eqid 1475	. . 3 |- ((1 + A) + ((A^2) / 2)) = ((1 + A) + ((A^2) / 2))
50	1, 2, 12, 6, 42, 47, 48, 49	efsep 7396	. 2 |- (exp` A) = (((1 + A) + ((A^2) / 2)) + sum_k e. (ZZ>` 3)(F` k))
51	1	eftval 7316	. . . 4 |- (3 e. NN0 -> (F` 3) = ((A^3) / (!` 3)))
52	4, 51	ax-mp 7	. . 3 |- (F` 3) = ((A^3) / (!` 3))
53		fac3 6938	. . . 4 |- (!` 3) = 6
54	53	opreq2i 3972	. . 3 |- ((A^3) / (!` 3)) = ((A^3) / 6)
55	52, 54	eqtr 1495	. 2 |- (F` 3) = ((A^3) / 6)
56		df-4 5972	. 2 |- 4 = (3 + 1)
57		eqid 1475	. 2 |- (((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) = (((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6))
58	1, 2, 4, 11, 50, 55, 56, 57	efsep 7396	1 |- (exp` A) = ((((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {copab 2666  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   / cdiv 5294  NN0cn0 5297  2c2 5961  3c3 5962  4c4 5963  6c6 5965  ZZ>cuz 6417  ^cexp 6568  !cfa 6931  sum_csu 6979  expce 7293

This theorem is referenced by:  ef4pt 7400

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-5 5973  df-6 5974  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-seq0 6534  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain