Theorem efm1lim 7396

Description: Series convergence to the exponential function minus 1. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
efm1lim.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
efm1lim.2	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
efm1lim	|- (<.1, + >. seq F) ~~> ((exp` A) - 1)

Distinct variable group:   A,j,y

Proof of Theorem efm1lim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 6101	. . . 4 |- 0 e. NN0
2		nn0uz 6424	. . . 4 |- NN0 = (ZZ>` 0)
3	1, 2	eleqtr 1546	. . 3 |- 0 e. (ZZ>` 0)
4		nn0ex 6093	. . . . 5 |- NN0 e. V
5		efm1lim.1	. . . . 5 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
6	4, 5	fopabex2 3612	. . . 4 |- F e. V
7		fvex 3732	. . . 4 |- (exp` A) e. V
8		addex 5309	. . . . . 6 |- + e. V
9	8, 6	seq0seqz 6528	. . . . 5 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
10		efm1lim.2	. . . . . 6 |- A e. CC
11	5	efcvg 7299	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ( + seq0 F) ~~> (exp` A))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( + seq0 F) ~~> (exp` A)
13	9, 12	eqbrtrr 2636	. . . 4 |- (<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A)
14		eftclt 7288	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
15	10, 14	mpan 695	. . . . . 6 |- (j e. NN0 -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
16	5, 15	fopab 3827	. . . . 5 |- F:NN0-->CC
17		feq2 3621	. . . . . 6 |- (NN0 = (ZZ>` 0) -> (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC))
18	2, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC)
19	16, 18	mpbi 189	. . . 4 |- F:(ZZ>` 0)-->CC
20	6, 7, 13, 19	clim2serz 7130	. . 3 |- (0 e. (ZZ>` 0) -> (<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0)))
21	3, 20	ax-mp 7	. 2 |- (<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0))
22		ax1cn 5261	. . . . 5 |- 1 e. CC
23	22	addid2 5323	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
24	23	opeq1i 2490	. . 3 |- <.(0 + 1), + >. = <.1, + >.
25	24	opreq1i 3971	. 2 |- (<.(0 + 1), + >. seq F) = (<.1, + >. seq F)
26		0z 6134	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
27	8, 6	seqz1 6533	. . . . 5 |- (0 e. ZZ -> ((<.0, + >. seq F)` 0) = (F` 0))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . 4 |- ((<.0, + >. seq F)` 0) = (F` 0)
29	5, 10	eft0val 7383	. . . 4 |- (F` 0) = 1
30	28, 29	eqtr 1495	. . 3 |- ((<.0, + >. seq F)` 0) = 1
31	30	opreq2i 3972	. 2 |- ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0)) = ((exp` A) - 1)
32	21, 25, 31	3brtr3 2642	1 |- (<.1, + >. seq F) ~~> ((exp` A) - 1)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411   class class class wbr 2619  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5224  0cc0 5226  1c1 5227   + caddc 5229   - cmin 5284   / cdiv 5286  NN0cn0 5289  ZZcz 5290  ZZ>cuz 6403   seq cseqz 6517   seq0 cseq0 6518  ^cexp 6554  !cfa 6916   ~~> cli 6959  expce 7278

This theorem is referenced by:  absefm1le 7397

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4617

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4566  df-ni 4992  df-pli 4993  df-mi 4994  df-lti 4995  df-plpq 5027  df-mpq 5028  df-enq 5029  df-nq 5030  df-plq 5031  df-mq 5032  df-rq 5033  df-ltq 5034  df-1q 5035  df-np 5078  df-1p 5079  df-plp 5080  df-mp 5081  df-ltp 5082  df-plpr 5156  df-mpr 5157  df-enr 5158  df-nr 5159  df-plr 5160  df-mr 5161  df-ltr 5162  df-0r 5163  df-1r 5164  df-m1r 5165  df-c 5232  df-0 5233  df-1 5234  df-i 5235  df-r 5236  df-plus 5237  df-mul 5238  df-lt 5239  df-sub 5348  df-neg 5350  df-pnf 5479  df-mnf 5480  df-xr 5481  df-ltxr 5482  df-le 5483  df-div 5691  df-n 5913  df-2 5958  df-n0 6088  df-z 6124  df-fl 6212  df-seq1 6294  df-shft 6327  df-uz 6404  df-fz 6454  df-seqz 6519  df-seq0 6520  df-exp 6555  df-sqr 6656  df-re 6737  df-im 6738  df-cj 6739  df-abs 6740  df-fac 6917  df-clim 6960  df-sum 6965  df-ef 7283

Copyright terms: Public domain