Theorem elnn0 6069

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	|- (A e. NN0 <-> (A e. NN \/ A = 0))

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 6068	. . 3 |- NN0 = (NN u. {0})
2	1	eleq2i 1537	. 2 |- (A e. NN0 <-> A e. (NN u. {0}))
3		elun 2171	. 2 |- (A e. (NN u. {0}) <-> (A e. NN \/ A e. {0}))
4		0cn 5316	. . . . 5 |- 0 e. CC
5	4	elisseti 1816	. . . 4 |- 0 e. V
6	5	elsnc2 2435	. . 3 |- (A e. {0} <-> A = 0)
7	6	orbi2i 255	. 2 |- ((A e. NN \/ A e. {0}) <-> (A e. NN \/ A = 0))
8	2, 3, 7	3bitr 177	1 |- (A e. NN0 <-> (A e. NN \/ A = 0))

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 956   e. wcel 958   u. cun 2043  {csn 2407  CCcc 5220  0cc0 5222  NNcn 5284  NN0cn0 5285

This theorem is referenced by:  dfn2 6080  0nn0 6081  lt0nnn0 6084  nn0addclt 6088  nn0mulcl 6090  nnnn0addclt 6093  nn0ltp1let 6095  elnn0z 6115  elznn0nn 6116  elznn0 6117  elznn 6118  nn0subt 6129  elnn0nn 6139  zltp1let 6149  nn0ind-raph 6182  expp1t 6534  expcllem 6535  expne0it 6548  expge0t 6551  expge1t 6553  exple1t 6567  facp1t 6894  faclbnd 6903  faclbnd3 6905  faclbnd4lem1 6906  faclbnd4lem3 6908  faclbnd4 6910  bcpasc 6927  bccl2t 6929  binom 7030

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2691  ax-sep 2701  ax-nul 2708  ax-pow 2740  ax-pr 2777  ax-un 2864  ax-inf2 4613

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2502  df-int 2532  df-iun 2566  df-br 2618  df-opab 2665  df-tr 2679  df-eprel 2830  df-id 2833  df-po 2838  df-so 2848  df-fr 2915  df-we 2932  df-ord 2949  df-on 2950  df-lim 2951  df-suc 2952  df-om 3130  df-xp 3182  df-rel 3183  df-cnv 3184  df-co 3185  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fun 3190  df-fn 3191  df-f 3192  df-fv 3196  df-rdg 3930  df-opr 3963  df-oprab 3964  df-1st 4077  df-2nd 4078  df-1o 4131  df-oadd 4133  df-omul 4134  df-er 4259  df-ec 4261  df-qs 4264  df-ni 4988  df-pli 4989  df-mi 4990  df-lti 4991  df-plpq 5023  df-mpq 5024  df-enq 5025  df-nq 5026  df-plq 5027  df-mq 5028  df-rq 5029  df-ltq 5030  df-1q 5031  df-np 5074  df-1p 5075  df-plp 5076  df-mp 5077  df-ltp 5078  df-plpr 5152  df-mpr 5153  df-enr 5154  df-nr 5155  df-plr 5156  df-mr 5157  df-0r 5159  df-1r 5160  df-m1r 5161  df-c 5228  df-0 5229  df-1 5230  df-i 5231  df-r 5232  df-plus 5233  df-mul 5234  df-n0 6068

Copyright terms: Public domain