Theorem elsb3 1331

Description: Substitution applied to an atomic membership wff.

Assertion

Ref	Expression
elsb3	|- ([x / y]y e. z <-> x e. z)

Distinct variable group:   y,z

Proof of Theorem elsb3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equsb2 1194	. . . . . 6 |- [w / y]w = y
2		elequ1 1136	. . . . . . 7 |- (w = y -> (w e. z <-> y e. z))
3	2	sbimi 1173	. . . . . 6 |- ([w / y]w = y -> [w / y](w e. z <-> y e. z))
4	1, 3	ax-mp 7	. . . . 5 |- [w / y](w e. z <-> y e. z)
5		sbbi 1239	. . . . 5 |- ([w / y](w e. z <-> y e. z) <-> ([w / y]w e. z <-> [w / y]y e. z))
6	4, 5	mpbi 189	. . . 4 |- ([w / y]w e. z <-> [w / y]y e. z)
7		ax-17 971	. . . . 5 |- (w e. z -> A.y w e. z)
8	7	sbf 1186	. . . 4 |- ([w / y]w e. z <-> w e. z)
9	6, 8	bitr3 175	. . 3 |- ([w / y]y e. z <-> w e. z)
10	9	sbbii 1174	. 2 |- ([x / w][w / y]y e. z <-> [x / w]w e. z)
11		ax-17 971	. . 3 |- (y e. z -> A.w y e. z)
12	11	sbco2 1255	. 2 |- ([x / w][w / y]y e. z <-> [x / y]y e. z)
13		equsb2 1194	. . . . 5 |- [x / w]x = w
14		elequ1 1136	. . . . . 6 |- (x = w -> (x e. z <-> w e. z))
15	14	sbimi 1173	. . . . 5 |- ([x / w]x = w -> [x / w](x e. z <-> w e. z))
16	13, 15	ax-mp 7	. . . 4 |- [x / w](x e. z <-> w e. z)
17		sbbi 1239	. . . 4 |- ([x / w](x e. z <-> w e. z) <-> ([x / w]x e. z <-> [x / w]w e. z))
18	16, 17	mpbi 189	. . 3 |- ([x / w]x e. z <-> [x / w]w e. z)
19		ax-17 971	. . . 4 |- (x e. z -> A.w x e. z)
20	19	sbf 1186	. . 3 |- ([x / w]x e. z <-> x e. z)
21	18, 20	bitr3 175	. 2 |- ([x / w]w e. z <-> x e. z)
22	10, 12, 21	3bitr3 181	1 |- ([x / y]y e. z <-> x e. z)

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 958  [wsbc 1170

This theorem is referenced by:  cvjust 1471

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-11o 1218

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172

Copyright terms: Public domain