Theorem fvco 3781

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
fvco	|- ((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfco 3780	. . . . . . . . 9 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom ( F o. G) <-> (G` A) e. dom F))
2	1	anbi2d 618	. . . . . . . 8 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((Fun F /\ A e. dom ( F o. G)) <-> (Fun F /\ (G` A) e. dom F)))
3		fvex 3739	. . . . . . . . . . . 12 |- (F` (G` A)) e. V
4		opelcog 3297	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. dom G /\ (F` (G` A)) e. V) -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
5	3, 4	mpan2 698	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. dom G -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
6	5	adantl 390	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
7		visset 1816	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. V
8	7	funopfvb 3763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((G` A) = z <-> <.A, z>. e. G))
9		eqcom 1480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (G` A) <-> (G` A) = z)
10	8, 9	syl5bb 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (z = (G` A) <-> <.A, z>. e. G))
11	10	anbi1d 619	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((z = (G` A) /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F) <-> (<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
12	11	exbidv 1281	. . . . . . . . . . 11 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (E.z(z = (G` A) /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
13		fvex 3739	. . . . . . . . . . . 12 |- (G` A) e. V
14		opeq1 2492	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (G` A) -> <.z, (F` (G` A))>. = <.(G` A), (F` (G` A))>.)
15	14	eleq1d 1543	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (G` A) -> (<.z, (F` (G` A))>. e. F <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F))
16	13, 15	ceqsexv 1838	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z(z = (G` A) /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F) <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F)
17	12, 16	syl5bbr 536	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.(G` A), (F` (G` A))>. e. F <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
18	6, 17	bitr4d 533	. . . . . . . . 9 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F))
19		eqid 1478	. . . . . . . . . 10 |- (F` (G` A)) = (F` (G` A))
20	3	funopfvb 3763	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun F /\ (G` A) e. dom F) -> ((F` (G` A)) = (F` (G` A)) <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F))
21	19, 20	mpbii 193	. . . . . . . . 9 |- ((Fun F /\ (G` A) e. dom F) -> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F)
22	18, 21	syl5bir 210	. . . . . . . 8 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((Fun F /\ (G` A) e. dom F) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
23	2, 22	sylbid 203	. . . . . . 7 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((Fun F /\ A e. dom ( F o. G)) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
24	23	exp4b 381	. . . . . 6 |- (Fun G -> (A e. dom G -> (Fun F -> (A e. dom ( F o. G) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))))
25	24	com3r 35	. . . . 5 |- (Fun F -> (Fun G -> (A e. dom G -> (A e. dom ( F o. G) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))))
26	25	3imp1 848	. . . 4 |- (((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) /\ A e. dom ( F o. G)) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G))
27	3	funopfvb 3763	. . . . . 6 |- ((Fun (F o. G) /\ A e. dom ( F o. G)) -> (((F o. G)` A) = (F` (G` A)) <-> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
28		funco 3557	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ Fun G) -> Fun (F o. G))
29	27, 28	sylan 450	. . . . 5 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ A e. dom ( F o. G)) -> (((F o. G)` A) = (F` (G` A)) <-> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
30	29	3adantl3 807	. . . 4 |- (((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) /\ A e. dom ( F o. G)) -> (((F o. G)` A) = (F` (G` A)) <-> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
31	26, 30	mpbird 196	. . 3 |- (((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) /\ A e. dom ( F o. G)) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))
32	31	ex 373	. 2 |- ((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom ( F o. G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A))))
33		ndmfv 3752	. . . . . 6 |- (-. A e. dom ( F o. G) -> ((F o. G)` A) = (/))
34	33	adantl 390	. . . . 5 |- (((Fun G /\ A e. dom G) /\ -. A e. dom ( F o. G)) -> ((F o. G)` A) = (/))
35	1	negbid 613	. . . . . . 7 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom ( F o. G) <-> -. (G` A) e. dom F))
36		ndmfv 3752	. . . . . . 7 |- (-. (G` A) e. dom F -> (F` (G` A)) = (/))
37	35, 36	syl6bi 214	. . . . . 6 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom ( F o. G) -> (F` (G` A)) = (/)))
38	37	imp 350	. . . . 5 |- (((Fun G /\ A e. dom G) /\ -. A e. dom ( F o. G)) -> (F` (G` A)) = (/))
39	34, 38	eqtr4d 1513	. . . 4 |- (((Fun G /\ A e. dom G) /\ -. A e. dom ( F o. G)) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))
40	39	ex 373	. . 3 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom ( F o. G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A))))
41	40	3adant1 799	. 2 |- ((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom ( F o. G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A))))
42	32, 41	pm2.61d 127	1 |- ((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  Vcvv 1814  (/)c0 2284  <.cop 2416  dom cdm 3177   o. ccom 3181  Fun wfun 3183  ` cfv 3189

This theorem is referenced by:  fvco2 3782  fopabco 3839  fopabcos 3840  ac6lem 4771  uzrdgval 6310  cnpco 7773  cnmetdval 7906  vsfval 8257  imsdval 8320  hoco 9692  adjbdlnb 10019

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2709  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-nul 2285  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-op 2421  df-uni 2509  df-br 2626  df-opab 2673  df-id 2842  df-xp 3191  df-rel 3192  df-cnv 3193  df-co 3194  df-dm 3195  df-rn 3196  df-res 3197  df-ima 3198  df-fun 3199  df-fn 3200  df-fv 3205

Copyright terms: Public domain