Theorem fveq1 3723

Description: Equality theorem for function value.

Assertion

Ref	Expression
fveq1	|- (F = G -> (F` A) = (G` A))

Proof of Theorem fveq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaeq1 3401	. . . . 5 |- (F = G -> (F"{A}) = (G"{A}))
2	1	eqeq1d 1483	. . . 4 |- (F = G -> ((F"{A}) = {x} <-> (G"{A}) = {x}))
3	2	abbidv 1577	. . 3 |- (F = G -> {x | (F"{A}) = {x}} = {x | (G"{A}) = {x}})
4	3	unieqd 2512	. 2 |- (F = G -> U.{x | (F"{A}) = {x}} = U.{x | (G"{A}) = {x}})
5		df-fv 3198	. 2 |- (F` A) = U.{x | (F"{A}) = {x}}
6		df-fv 3198	. 2 |- (G` A) = U.{x | (G"{A}) = {x}}
7	4, 5, 6	3eqtr4g 1531	1 |- (F = G -> (F` A) = (G` A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956  {cab 1463  {csn 2409  U.cuni 2503  "cima 3173  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fveq1i 3725  fveq1d 3726  eqfnfv 3797  isoeq1 3887  tfrlem3 3913  tfrlem12 3922  tz7.44-2 3929  rdgeq1 3934  rdglem2 3938  opreq 3967  omv 4151  oev 4153  elixp2 4349  mapsnen 4429  mapenlem2 4490  mapxpen 4495  aceq4 4734  aceq5lem5 4739  aceq6a 4741  ac6lem 4754  seq1val 6312  shftfval 6342  clim 6977  climfnn 7092  caucvg3t 7168  cvgcmp3cetlem1 7188  cvgcmp3cetlem2 7189  elcncf 7265  abspef01tlub 7395  acdc3 7487  acdc2 7490  acdc5 7493  acdc 7495  iscnp 7760  lmbr 7928  iscau 7936  metcn4i 7972  bcth 8032  isnvlem 8229  nvi 8233  islno 8414  nmoval 8426  nmblolbi 8460  isphg 8476  ajmoi 8519  ubthi 8544  hcau 9051  hlim 9056  hlim2 9060  hosmvalt 9511  hommvalt 9512  hodmvalt 9513  hfsmvalt 9514  hfmmvalt 9515  adjmo 9758  nmopvalt 9782  elcnopt 9783  ellnopt 9784  elunopt 9799  elhmopt 9800  nmfnvalt 9803  nlfnvalt 9808  elcnfnt 9809  ellnfnt 9810  adjvalt 9814  eigvecvalt 9822  eigvalvalt 9823  adjt 9857  adjeqt 9859  hmopadj2t 9865  lnopeq0 9932  lnopeqt 9934  elunop2t 9938  lnophmt 9944  hmopcot 9948  nmbdoplbt 9950  nmcoplbt 9960  lnopcont 9964  lnfn0t 9976  lnfnmult 9977  nmbdfnlbt 9979  nmcfnlbt 9989  lnfncont 9991  riesz4t 9997  riesz1t 9998  cnlnadjlem9 10008  cnlnadjeut 10011  cnlnssadj 10013  nmopco 10028  bra11 10041  cnvbravalt 10043  hmopidmcht 10081  hmopidmpjt 10082  pjss2co 10092  pjssdif2 10102  pjssdif1 10103  pjclem4 10127  pj3s 10135  pj3cor1 10137  stelt 10141  hstelt 10142  str 10184  hstr 10192  elghomlem2 10383  cayleylem3 10411  limfillem2OLD 10608  isded 10669  dedi 10670  iscat 10687  cati 10688  isfunb 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain