Theorem fvopab4ndm 3782

Description: Value of a function given by an ordered-pair class abstraction, outside of its domain.

Hypothesis

Ref	Expression
fvopab4ndm.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)}

Assertion

Ref	Expression
fvopab4ndm	|- (-. B e. A -> (F` B) = (/))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem fvopab4ndm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvopab4ndm.1	. . . . . 6 |- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)}
2	1	dmeqi 3310	. . . . 5 |- dom F = dom {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)}
3		dmopabss 3319	. . . . 5 |- dom {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} (_ A
4	2, 3	eqsstr 2089	. . . 4 |- dom F (_ A
5	4	sseli 2063	. . 3 |- (B e. dom F -> B e. A)
6	5	con3i 98	. 2 |- (-. B e. A -> -. B e. dom F)
7		ndmfv 3743	. 2 |- (-. B e. dom F -> (F` B) = (/))
8	6, 7	syl 10	1 |- (-. B e. A -> (F` B) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (/)c0 2278  {copab 2664  dom cdm 3168  ` cfv 3180

This theorem is referenced by:  curry1val 4098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2701  ax-pow 2740  ax-pr 2777

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2502  df-br 2618  df-opab 2665  df-xp 3182  df-cnv 3184  df-dm 3186  df-rn 3187  df-res 3188  df-ima 3189  df-fv 3196

Copyright terms: Public domain