Theorem fvopabn 3786

Description: This somewhat non-intuitive theorem tells us the value of its function is the empty set when the class C it would otherwise map to is a proper class. This is a technical lemma that can help eliminate redundant sethood antecedents otherwise required by fvopabg 3785.

Hypothesis

Ref	Expression
fvopabn.1	|- (x = A -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopabn	|- (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,C,y

Proof of Theorem fvopabn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
2	1	snnz 2458	. . . . . . . . . 10 |- {z} =/= (/)
3		df-ne 1587	. . . . . . . . . 10 |- ({z} =/= (/) <-> -. {z} = (/))
4	2, 3	mpbi 189	. . . . . . . . 9 |- -. {z} = (/)
5		opeq1 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z = A -> <.z, w>. = <.A, w>.)
6	5	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = A -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
7	6	ceqsexgv 1888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. V -> (E.z(z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
8		elsn 2421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. {A} <-> z = A)
9	8	anbi1i 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> (z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
10	9	exbii 1051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> E.z(z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
11	7, 10	syl5bb 532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. V -> (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
12		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. V
13		fvopabn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = A -> B = C)
14	13	eqeq2d 1486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = A -> (y = B <-> y = C))
15		eqeq1 1481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = w -> (y = C <-> w = C))
16	14, 15	opelopabg 2817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. V /\ w e. V) -> (<.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> w = C))
17	12, 16	mpan2 696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. V -> (<.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> w = C))
18	11, 17	bitrd 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. V -> (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> w = C))
19	18	abbidv 1577	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. V -> {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})} = {w | w = C})
20		eleq1 1534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = C -> (w e. V <-> C e. V))
21	12, 20	mpbii 193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = C -> C e. V)
22	21	19.23aiv 1295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.w w = C -> C e. V)
23	22	con3i 98	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. C e. V -> -. E.w w = C)
24		abn0 2290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ({w | w = C} =/= (/) <-> E.w w = C)
25	24	necon1bbii 1617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. E.w w = C <-> {w | w = C} = (/))
26	23, 25	sylib 198	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. C e. V -> {w | w = C} = (/))
27	19, 26	sylan9eq 1527	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})} = (/))
28		dfima3 3406	. . . . . . . . . . . 12 |- ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})}
29	27, 28	syl5eq 1519	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = (/))
30	29	eqeq1d 1483	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> (({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> (/) = {z}))
31		eqcom 1477	. . . . . . . . . 10 |- ((/) = {z} <-> {z} = (/))
32	30, 31	syl6bb 536	. . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> (({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> {z} = (/)))
33	4, 32	mtbiri 717	. . . . . . . 8 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> -. ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
34	33	nexdv 1326	. . . . . . 7 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> -. E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
35		abn0 2290	. . . . . . . 8 |- ({z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} =/= (/) <-> E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
36	35	necon1bbii 1617	. . . . . . 7 |- (-. E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/))
37	34, 36	sylib 198	. . . . . 6 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/))
38	37	unieqd 2512	. . . . 5 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> U.{z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = U.(/))
39		df-fv 3198	. . . . 5 |- ({<.x, y>. | y = B}` A) = U.{z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}}
40	38, 39	syl5eq 1519	. . . 4 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = U.(/))
41		uni0 2525	. . . 4 |- U.(/) = (/)
42	40, 41	syl6eq 1523	. . 3 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))
43	42	ex 373	. 2 |- (A e. V -> (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/)))
44		fvprc 3721	. . 3 |- (-. A e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))
45	44	a1d 12	. 2 |- (-. A e. V -> (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/)))
46	43, 45	pm2.61i 126	1 |- (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   =/= wne 1585  Vcvv 1811  (/)c0 2280  {csn 2409  <.cop 2411  U.cuni 2503  {copab 2666  "cima 3173  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fvopabnf 3788

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198

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