Theorem fvprc 3721

Description: A function's value at a proper class is the empty set.

Assertion

Ref	Expression
fvprc	|- (-. A e. V -> (F` A) = (/))

Proof of Theorem fvprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- x e. V
2	1	snnz 2458	. . . . . . . 8 |- {x} =/= (/)
3		df-ne 1587	. . . . . . . 8 |- ({x} =/= (/) <-> -. {x} = (/))
4	2, 3	mpbi 189	. . . . . . 7 |- -. {x} = (/)
5		snprc 2443	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
6		imaeq2 3402	. . . . . . . . . . 11 |- ({A} = (/) -> (F"{A}) = (F"(/)))
7	5, 6	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- (-. A e. V -> (F"{A}) = (F"(/)))
8		ima0 3420	. . . . . . . . . 10 |- (F"(/)) = (/)
9	7, 8	syl6eq 1523	. . . . . . . . 9 |- (-. A e. V -> (F"{A}) = (/))
10	9	eqeq1d 1483	. . . . . . . 8 |- (-. A e. V -> ((F"{A}) = {x} <-> (/) = {x}))
11		eqcom 1477	. . . . . . . 8 |- ((/) = {x} <-> {x} = (/))
12	10, 11	syl6bb 536	. . . . . . 7 |- (-. A e. V -> ((F"{A}) = {x} <-> {x} = (/)))
13	4, 12	mtbiri 717	. . . . . 6 |- (-. A e. V -> -. (F"{A}) = {x})
14	13	nexdv 1326	. . . . 5 |- (-. A e. V -> -. E.x(F"{A}) = {x})
15		abn0 2290	. . . . . 6 |- ({x | (F"{A}) = {x}} =/= (/) <-> E.x(F"{A}) = {x})
16	15	necon1bbii 1617	. . . . 5 |- (-. E.x(F"{A}) = {x} <-> {x | (F"{A}) = {x}} = (/))
17	14, 16	sylib 198	. . . 4 |- (-. A e. V -> {x | (F"{A}) = {x}} = (/))
18	17	unieqd 2512	. . 3 |- (-. A e. V -> U.{x | (F"{A}) = {x}} = U.(/))
19		df-fv 3198	. . 3 |- (F` A) = U.{x | (F"{A}) = {x}}
20	18, 19	syl5eq 1519	. 2 |- (-. A e. V -> (F` A) = U.(/))
21		uni0 2525	. 2 |- U.(/) = (/)
22	20, 21	syl6eq 1523	1 |- (-. A e. V -> (F` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   =/= wne 1585  Vcvv 1811  (/)c0 2280  {csn 2409  U.cuni 2503  "cima 3173  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  tz6.12-2 3739  ndmfv 3745  fvopabn 3786  1stval 4081  2ndval 4082  rankon 4671  ranklim 4685  r1pwcl 4687  rankuni 4698  cardval 4826  card1 4833  sdomsdomcard 4848  cardidm 4849  vafval 8222  bafval 8223  smfval 8224  0vfval 8225  vsfval 8254  domval 10655  codval 10656  idval 10657  cmpval 10658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain