Theorem hbfv 3729

Description: Bound-variable hypothesis builder for function value.

Hypotheses

Ref	Expression
hbfv.1	|- (y e. F -> A.x y e. F)
hbfv.2	|- (y e. A -> A.x y e. A)

Assertion

Ref	Expression
hbfv	|- (y e. (F` A) -> A.x y e. (F` A))

Distinct variable groups:   y,F   y,A   x,y

Proof of Theorem hbfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 3198	. 2 |- (F` A) = U.{z | (F"{A}) = {z}}
2		hbfv.1	. . . . . 6 |- (y e. F -> A.x y e. F)
3		hbfv.2	. . . . . . 7 |- (y e. A -> A.x y e. A)
4	3	hbsn 2438	. . . . . 6 |- (y e. {A} -> A.x y e. {A})
5	2, 4	hbima 3411	. . . . 5 |- (y e. (F"{A}) -> A.x y e. (F"{A}))
6		ax-17 971	. . . . 5 |- (y e. {z} -> A.x y e. {z})
7	5, 6	hbeq 1565	. . . 4 |- ((F"{A}) = {z} -> A.x(F"{A}) = {z})
8	7	hbab 1467	. . 3 |- (y e. {z | (F"{A}) = {z}} -> A.x y e. {z | (F"{A}) = {z}})
9	8	hbuni 2509	. 2 |- (y e. U.{z | (F"{A}) = {z}} -> A.x y e. U.{z | (F"{A}) = {z}})
10	1, 9	hbxfr 1563	1 |- (y e. (F` A) -> A.x y e. (F` A))

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  {csn 2409  U.cuni 2503  "cima 3173  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  hbfvd 3730  hbfvd2 3731  csbfv12g 3742  fvopab2 3791  eqfnfvf 3798  elrnopabg 3800  ffnfvf 3829  abrexexlem2 3859  funiunfvf 3870  f1fvf 3875  hbiso 3892  hbrdg 3936  rdgsucopab 3946  rdgsucopabn 3947  frsucopab 3954  abianfplem 3961  hbopr 3981  dom2d 4404  unblem2 4541  unblem3 4542  inf0 4606  trcl 4645  tz9.12lem3 4661  rankid 4672  rankval4 4702  uniimadomf 4811  cardprc 4861  cardaleph 4885  alephfplem2 4897  om2uzsuc 6296  hbsum1 6983  hbsum 6984  fsumserzf 7000  isumvaltf 7193  isumnn0nna 7208  isummulc1a 7214  isumcmpi 7215  minvecdist 8585  cnlnadjlem5 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain