Theorem hhlno 9828

Description: The linear operators of Hilbert space.

Hypotheses

Ref	Expression
hhlno.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
hhlno.2	|- L = (U LnOp U)

Assertion

Ref	Expression
hhlno	|- LinOp = L

Proof of Theorem hhlno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvcom 8873	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x .h y) e. H~ /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) = (z +h (x .h y)))
2		hvmulclt 8885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x .h y) e. H~)
3	1, 2	sylan 450	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) = (z +h (x .h y)))
4	3	fveq2d 3735	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (t` ((x .h y) +h z)) = (t` (z +h (x .h y))))
5	4	adantlll 398	. . . . . . . . . 10 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (t` ((x .h y) +h z)) = (t` (z +h (x .h y))))
6		ax-hvcom 8873	. . . . . . . . . . 11 |- (((x .h (t` y)) e. H~ /\ (t` z) e. H~) -> ((x .h (t` y)) +h (t` z)) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
7		hvmulclt 8885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CC /\ (t` y) e. H~) -> (x .h (t` y)) e. H~)
8		simplr 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> x e. CC)
9		ffvelrn 3821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((t:H~-->H~ /\ y e. H~) -> (t` y) e. H~)
10	9	adantlr 395	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> (t` y) e. H~)
11	7, 8, 10	sylanc 473	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> (x .h (t` y)) e. H~)
12	11	adantr 391	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (x .h (t` y)) e. H~)
13		ffvelrn 3821	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((t:H~-->H~ /\ z e. H~) -> (t` z) e. H~)
14	13	adantlr 395	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ z e. H~) -> (t` z) e. H~)
15	14	adantlr 395	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (t` z) e. H~)
16	6, 12, 15	sylanc 473	. . . . . . . . . 10 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x .h (t` y)) +h (t` z)) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
17	5, 16	eqeq12d 1492	. . . . . . . . 9 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
18	17	ralbidva 1662	. . . . . . . 8 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> (A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.z e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
19	18	ralbidva 1662	. . . . . . 7 |- ((t:H~-->H~ /\ x e. CC) -> (A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.y e. H~ A.z e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
20		ralcom 1777	. . . . . . 7 |- (A.y e. H~ A.z e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))) <-> A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
21	19, 20	syl6bb 538	. . . . . 6 |- ((t:H~-->H~ /\ x e. CC) -> (A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
22	21	ralbidva 1662	. . . . 5 |- (t:H~-->H~ -> (A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.x e. CC A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
23		ralcom 1777	. . . . 5 |- (A.x e. CC A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))) <-> A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
24	22, 23	syl6bb 538	. . . 4 |- (t:H~-->H~ -> (A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
25	24	pm5.32i 647	. . 3 |- ((t:H~-->H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z))) <-> (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
26	25	abbii 1578	. 2 |- {t | (t:H~-->H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)))} = {t | (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))}
27		df-lnop 9769	. 2 |- LinOp = {t | (t:H~-->H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)))}
28		eqid 1478	. . . 4 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
29	28	hhnv 9034	. . 3 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
30	28	hhba 9036	. . . 4 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
31	28	hhva 9035	. . . 4 |- +h = (+v` <.<. +h , .h >., normh>.)
32	28	hhsm 9038	. . . 4 |- .h = (.s` <.<. +h , .h >., normh>.)
33		hhlno.2	. . . . 5 |- L = (U LnOp U)
34		hhlno.1	. . . . . 6 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
35	34, 34	opreq12i 3980	. . . . 5 |- (U LnOp U) = (<.<. +h , .h >., normh>. LnOp <.<. +h , .h >., normh>.)
36	33, 35	eqtr 1498	. . . 4 |- L = (<.<. +h , .h >., normh>. LnOp <.<. +h , .h >., normh>.)
37	30, 30, 31, 31, 32, 32, 36	lnoval 8416	. . 3 |- ((<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec) -> L = {t | (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))})
38	29, 29, 37	mp2an 699	. 2 |- L = {t | (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))}
39	26, 27, 38	3eqtr4 1508	1 |- LinOp = L

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  A.wral 1648  <.cop 2416  -->wf 3185  ` cfv 3189  (class class class)co 3970  CCcc 5251  NrmCVeccnv 8206   LnOp clno 8404  H~chil 8790   +h cva 8791   .h csm 8792  normhcno 8796  LinOpclo 8818

This theorem is referenced by:  hhblo 9830  hmopbdopHIL 9914  nmlnop0HIL 9923

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2699  ax-sep 2709  ax-nul 2716  ax-pow 2749  ax-pr 2786  ax-un 2873  ax-inf2 4641  ax-hilex 8871  ax-hfvadd 8872  ax-hvcom 8873  ax-hvass 8874  ax-hv0cl 8875  ax-hvaddid 8876  ax-hfvmul 8877  ax-hvmulid 8878  ax-hvmulass 8879  ax-hvdistr1 8880  ax-hvdistr2 8881  ax-hvmul0 8882  ax-hfi 8948  ax-his1 8951  ax-his2 8952  ax-his3 8953  ax-his4 8954

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2006  df-dif 2053  df-un 2054  df-in 2055  df-ss 2057  df-pss 2059  df-nul 2285  df-if 2367  df-pw 2407  df-sn 2417  df-pr 2418  df-tp 2420  df-op 2421  df-uni 2509  df-int 2539  df-iun 2573  df-br 2626  df-opab 2673  df-tr 2687