Theorem hhshsslem1 9076

Description: Lemma for hhsssh 9078.

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
hhsst.2	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
hhssp3.3	|- W e. (SubSp` U)
hhssp3.4	|- H (_ H~

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem1	|- H = (Base` W)

Proof of Theorem hhshsslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1473	. . . 4 |- (Base` W) = (Base` W)
2		eqid 1473	. . . 4 |- (+v` W) = (+v` W)
3	1, 2	bafval 8175	. . 3 |- (Base` W) = ran (+v` W)
4		hhsst.1	. . . . . . . 8 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
5	4	hhnv 8971	. . . . . . 7 |- U e. NrmCVec
6		hhssp3.3	. . . . . . 7 |- W e. (SubSp` U)
7		eqid 1473	. . . . . . . 8 |- (SubSp` U) = (SubSp` U)
8	7	sspnv 8332	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) -> W e. NrmCVec)
9	5, 6, 8	mp2an 696	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
10	2	nvgrp 8188	. . . . . 6 |- (W e. NrmCVec -> (+v` W) e. Grp)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- (+v` W) e. Grp
12		grprndm 8004	. . . . 5 |- ((+v` W) e. Grp -> ran (+v` W) = dom dom (+v` W))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . 4 |- ran (+v` W) = dom dom (+v` W)
14		hhsst.2	. . . . . . . . 9 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
15	14	fveq2i 3718	. . . . . . . 8 |- (+v` W) = (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
16		eqid 1473	. . . . . . . . . 10 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
17	16	vafval 8174	. . . . . . . . 9 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.))
18		opex 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>. e. V
19	18	op1st 4075	. . . . . . . . . . 11 |- (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.
20	19	fveq2i 3718	. . . . . . . . . 10 |- (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.)
21		hilabl 8966	. . . . . . . . . . . 12 |- +h e. Abel
22		resexg 3386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +h e. Abel -> ( +h |` (H X. H)) e. V)
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ( +h |` (H X. H)) e. V
24	23	op1st 4075	. . . . . . . . . 10 |- (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.) = ( +h |` (H X. H))
25	20, 24	eqtr 1492	. . . . . . . . 9 |- (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = ( +h |` (H X. H))
26	17, 25	eqtr 1492	. . . . . . . 8 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = ( +h |` (H X. H))
27	15, 26	eqtr 1492	. . . . . . 7 |- (+v` W) = ( +h |` (H X. H))
28	27	dmeqi 3307	. . . . . 6 |- dom (+v` W) = dom ( +h |` (H X. H))
29		hhssp3.4	. . . . . . . . 9 |- H (_ H~
30		ssxp 3251	. . . . . . . . 9 |- ((H (_ H~ /\ H (_ H~) -> (H X. H) (_ (H~ X. H~))
31	29, 29, 30	mp2an 696	. . . . . . . 8 |- (H X. H) (_ (H~ X. H~)
32		ax-hfvadd 8809	. . . . . . . . 9 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
33		fdm 3623	. . . . . . . . 9 |- ( +h :(H~ X. H~)-->H~ -> dom +h = (H~ X. H~))
34	32, 33	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- dom +h = (H~ X. H~)
35	31, 34	sseqtr4 2090	. . . . . . 7 |- (H X. H) (_ dom +h
36		ssdmres 3373	. . . . . . 7 |- ((H X. H) (_ dom +h <-> dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H))
37	35, 36	mpbi 189	. . . . . 6 |- dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H)
38	28, 37	eqtr 1492	. . . . 5 |- dom (+v` W) = (H X. H)
39	38	dmeqi 3307	. . . 4 |- dom dom (+v` W) = dom ( H X. H)
40		dmxpid 3328	. . . 4 |- dom ( H X. H) = H
41	13, 39, 40	3eqtr 1496	. . 3 |- ran (+v` W) = H
42	3, 41	eqtr 1492	. 2 |- (Base` W) = H
43	42	eqcomi 1476	1 |- H = (Base` W)

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   (_ wss 2043  <.cop 2407   X. cxp 3163  dom cdm 3165  ran crn 3166   |` cres 3167  -->wf 3173  ` cfv 3177  1stc1st 4067  CCcc 5212  Grpcgr 7983  Abelcabl 8050  NrmCVeccnv 8155  +vcpv 8156  Basecba 8157  SubSpcss 8327  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  normhcno 8733

This theorem is referenced by:  hhshsslem2 9077  hhssba 9080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-nm 8171  df-ssp 8328  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779

Copyright terms: Public domain